contrôle du 18 décembre 2014

exercice 1

Soit f une fonction définie et déivable sur $ℝ$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentant la fonction f.

La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $A\left(-2;0\right)$ et lui est tangente au point B d'abscisse 6.

La tangente à la courbe au point A passe par le point $M\left(-3;3\right)$.

La courbe $C_f$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 0.

À partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.

1. Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur $ℝ$.

   Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.

2. 1. Déterminer $f\prime \left(0\right)$

   2. Déterminer les solutions de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A. En déduire la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

4. On donne $f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe $C_f$ au point D avec l'axe des abscisses.

5. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-3x}{x^2-x+2}}$.

1. Calculer la dérivée de la fonction f.

2. 1. Étudier le signe du polynôme du second degré défini pour tout réel x par $g\left(x\right)=3x^2-2x-5$.

   2. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$.

3. Donner le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum)

4. La courbe $C_f$, représentative de la fonction f, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

   1. Donner une équation de la tangente d à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1.

   2. Tracer la droite d dans le repère précédent.

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\left(x\right)=2\cos x-\cos \left(2x\right)$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Calculer $f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ et $f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$.

2. Montrer que la fonction f est paire. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?

3. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

4. Résoudre dans l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ l'équation $\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)$.

5. 1. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f\prime$ sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$.
      À l'aide du graphique, déterminer le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ puis, sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$

6. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

7. Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ dans le repère précédent. (On fera apparaître les tangentes parallèles à l'axe des abscisses)

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