contrôle du 28 mai 2015

exercice 1

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l'issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l'oxygène défectueuse.

partie a

On admet que dans cette production, 8 % des lentilles ont un rayon de courbure défectueux, 7 % des lentilles ont une perméabilité à l'oxygène défectueuse, et 12 % des lentilles présentent au moins un des deux défauts.

On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

• C l'évènement « la lentille a un rayon de courbure défectueux » ;
• I l'évènement « la lentille a une perméabilité à l'oxygène défectueuse ».

1. Traduire par une phrase l'évènement $C\cup I$. Donner la probabilité de l'évènement $C\cup I$.

2. Calculer la probabilité de l'évènement « une lentille prélevée au hasard présente les deux défauts ».

partie b

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces lentilles avant leur mise en vente.
Dans le stock de lentilles commercialisées par l'entreprise, on admet que 3 % des lentilles mises en vente après ce contrôle sont défectueuses.
Les lentilles sont vendues par lot de 100 pièces. Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise.
Pour un lot de 100 lentilles, on note X la variable aléatoire égale au nombre de lentilles défectueuses.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $\left[0;100\right]$.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   0	0,047 553	4	0,817 855	8	0,996 784
   1	0,194 622	5	0,919 163	9	0,999 126
   2	0,419 775	6	0,968 772	10	0,999 785
   3	0,647 249	7	0,989 376	11	0,999 952

   À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice, déterminer :

   1. la probabilité qu'au moins une lentille du lot a un défaut ;

   2. la probabilité de trouver trois lentilles qui ont un défaut ;

   3. $P\left(1⩽X⩽7\right)$, la probabilité que le nombre de lentilles défectueuses dans un lot de 100 soit compris entre 1 et 7.

4. Un client achète un lot de 100 lentilles. Après réception, ce client trouve 10 lentilles défectueuses.

   1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de lentilles défectueuses dans un échantillon de taille 100.

   2. Le lot acheté par ce client est-il représentatif des lots mis en vente ?

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exercice 2

Écrire sous la forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants :

1. $z_1=\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\left(1-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)$.

2. $z_2={\displaystyle \frac{3\mathrm{i}}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}$.

3. $z_3$ de module $\left|z_3\right|=2\sqrt{2}$ et d'argument $\arg \left(z_3\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

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exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ donné ci-dessous.

Soient A, B et C les points dont les affixes respectives sont $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $z_B=-z_A$ et $z_C={z_A}^2$.

1. Donner l'écriture algébrique de $z_B$ et $z_C$.

2. 1. Déterminer une écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

   2. Placer les points A, B et C dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

3. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

4. Résoudre dans $ℂ$ l'équation d'inconnue z : $\mathrm{i}z=\sqrt{3}+\mathrm{i}$. On notera $z_D$ la solution de l'équation que l'on écrira sous sa forme algébrique.

5. 1. Placer dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, les points D d'affixe $z_D$ et E d'affixe $z_E=\stackrel{—}{z_B}$.

   2. Les points C, D et E sont-ils alignés ?

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2x+1}{2x^2+3}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2+4x-6}{{\left(2x^2+3\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe du polynôme $P\left(x\right)=2x^2+2x-3$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f.

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0.

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