contrôle du 2 décembre 2014

exercice 1

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans un repère du plan. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

La courbe $C_f$ vérifie les propriétés suivantes :

• La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
• la tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(0;2\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(2;0\right)$.

Donner les valeurs de $f\left(-2\right)$, $f\prime \left(-2\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

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exercice 2

Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer la dérivée $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x^4-5x^3+x-5$.

2. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x^2+{\displaystyle \frac{3}{x}}-1$.

3. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$.

4. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$.

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exercice 3

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)$.

2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

3. h est la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(t\right)={\displaystyle \frac{\sin t}{2+\cos t}}$.

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exercice 4

1. Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ au point d'abscisse $-1$.

2. Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$.
   Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.

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