sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.

1. L'ordonnée à l'origine de la droite D est égale à :

   La droite D coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;3\right)$. Donc l'ordonnée à l'origine de la droite D est égale à 3.

   ---

   0

   1

   3

2. Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal à :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
   Or la droite D tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 passe par les points de coordonnées $\left(0;3\right)$ et $\left(1;0\right)$.
   Son coefficient directeur est égal à $-3$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)=-3$.

   ---

   $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   5

   $-3$

3. Sachant que l'aire coloriée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OABE , la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est :

   f est dérivable sur l'ensemble $ℝ$ alors f est continue sur $ℝ$. Par définition,Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$ la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est $${\displaystyle \frac{1}{4-0}}{\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   • Méthode 1 :
     L'aire coloriée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OABE d'où ${\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4\times {\displaystyle \frac{179}{75}}$

   • Méthode 2 :
     Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ , la fonction f est positive. Par conséquent, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est égale à la hauteur OE du rectangle OABE dont l'aire est égale à l'aire du domaine colorié compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$

   ---

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est égale à ${\displaystyle \frac{179}{75}}$

   ---

   ${\displaystyle \frac{179}{75}}$

   ${\displaystyle \frac{716}{75}}$

   $-{\displaystyle \frac{179}{75}}$

4. Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ :

   Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ , la courbe C admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses. Donc :

   l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ possède deux solutions distinctes sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   ---

   possède deux solutions distinctes.

   ne possède pas de solution.

   possède une unique solution.

---

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