Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥).

  1. On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+[ par g(x)=lnx+2x2-3.
    Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :

    x0  α +

    g(x)

     

    -

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    +

    En utilisant une calculatrice on a obtenu α1,19.
    Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle ]0;+[.

    La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+[ , alors pour tout réel x strictement positif, 0<x<αg(x)<g(0)g(x)<0et   x>αg(x)>g(0)g(x)>0

    D'où le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle ]0;+[

    x0 α +
    g(x) 0||+ 

  2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-lnxx+2x-5.
    On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O;𝚤,𝚥).

    1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

      limx0+2x=+

      limx0+lnx=- et limx0+1x=+ alors par produit limx0+lnxx=-

      Donc limx0+2x-lnxx+2x-5=+

      Ainsi, limx0+f(x)=+


    2. Déterminer la limite de la fonction f en +.

      limx+2x=0 et limx+lnxx=0 (théorème du cours)

      Donc limx+2x-lnxx+2x-5=+

      Ainsi, limx+f(x)=+


  3. On note f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f(x) et montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, on a : f(x)=g(x)x2

      Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x)=-2x2-1x×x-1×lnxx2+2=-2x2-1-lnxx2+2=-2-1+lnx+2x2x2=lnx+2x2-3x2

      f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=lnx+2x2-3x2. Soit f(x)=g(x)x2.


    2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ et dresser son tableau de variations.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or f(x)=g(x)x2 donc f est du même signe que g sur l'intervalle ]0;+[

      D'où le tableau des variations de la fonction f

      x0  α +
      f(x)  0||+ 
      f(x) 

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(α)

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

    3. Déterminer le signe de f(x) pour tout réel x supérieur ou égal à e.
      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

      Comme α1,19, nous avons e>α. Or sur l'intervalle ]α;+[, f est strictement croissante donc pour tout réel x>e, x>ef(x)>f(e)f(x)>2e-lnee+2e-5f(x)>2e-1e+2e-5f(x)>1e+2e-5

      Comme 1e+2e-50,8, nous avons : Pour tout réel x supérieur ou égal à e, f(x)>0.


  4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par h(x)=(lnx)2.

    1. Calculer la dérivée h de h.

      Pour tout réel x strictement positif, posons u(x)=lnx alors h=u2 d'où h=2uu. Soit h(x)=2×1x×lnx=2lnxx

      h est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par h(x)=2lnxx.


    2. En remarquant que pour tout x de l'intervalle ]0;+[, on a : f(x)=2x-12h(x)+2x-5, trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ .

      f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-lnxx+2x-5 et pour tout réel x strictement positif, h(x)=2lnxx donc pour tout x de l'intervalle ]0;+[, on a : f(x)=2x-12h(x)+2x-5.

      Par conséquent, une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ est définie par F(x)=2lnx-12h(x)+x2-5x

      Une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ est la fonction F définie par F(x)=2lnx-(lnx)22+x2-5x


    3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e et x=e2 (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).

      Pour tout réel x supérieur ou égal à e, f(x)>0, alors l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e et x=e2 est égale à : 01f(x)dx.

      ee2f(x)dx=[2lnx-(lnx)22+x2-5x]ee2=(2lne2-(lne2)22+(e2)2-5e2)-(2lne-(lne)22+e2-5e)=(4lne-(2lne)22+e4-5e2)-(2-12+e2-5e)=4-2+e4-5e2-32-e2+5e=e4-6e2+5e+1224,4

      L'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e et x=e2 est e4-6e2+5e+12. Soit arrondie au dixième, 24,4 unités d'aire.


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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