sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln x+2x^2-3$.
   Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :

   x	0			α		$+\infty$
   $g\left(x\right)$		$-\infty$				$+\infty$

   En utilisant une calculatrice on a obtenu $\alpha \approx \mathrm{1,19}$.
   Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , alors pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rrrrr}0<x<\alpha & \iff & g\left(x\right)<g\left(0\right)& \iff & g\left(x\right)<0\\ \text{et }x>\alpha & \iff & g\left(x\right)>g\left(0\right)& \iff & g\left(x\right)>0\end{array}$$

   D'où le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

   x	0		α		$+\infty$
   $g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+2x-5$.
   On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

   1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

      $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}=+\infty$

      $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ alors par produit $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=-\infty$

      Donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+2x-5=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$ (théorème du cours)

      Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+2x-5=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-1\times \ln x}{x^2}}+2\\ & =& -{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{-2-1+\ln x+2x^2}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\ln x+2x^2-3}{x^2}}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln x+2x^2-3}{x^2}}$. Soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$.

      ---

   2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$ donc $f\prime$ est du même signe que g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

      D'où le tableau des variations de la fonction f

      x	0			α		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$		$+\infty$		$f\left(\alpha \right)$		$+\infty$

   3. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ pour tout réel x supérieur ou égal à e.
      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

      Comme $\alpha \approx \mathrm{1,19}$, nous avons $\mathrm{e}>\alpha$. Or sur l'intervalle $\left]\alpha ;+\infty \right[$, f est strictement croissante donc pour tout réel $x>\mathrm{e}$, $$\begin{array}{lll}x>\mathrm{e}& \iff & f\left(x\right)>f\left(\mathrm{e}\right)\\ & \iff & f\left(x\right)>{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}}+2\mathrm{e}-5\\ & \iff & f\left(x\right)>{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}+2\mathrm{e}-5\\ & \iff & f\left(x\right)>{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}+2\mathrm{e}-5\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}+2\mathrm{e}-5\approx \mathrm{0,8}$, nous avons : Pour tout réel x supérieur ou égal à e, $f\left(x\right)>0$.

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4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$.

   1. Calculer la dérivée $h\prime$ de h.

      Pour tout réel x strictement positif, posons $u\left(x\right)=\ln x$ alors $h=u^2$ d'où $h\prime =2uu\prime$. Soit $$h\prime \left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln x={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$$

      $h\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$.

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   2. En remarquant que pour tout x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}h\prime \left(x\right)+2x-5$, trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ .

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+2x-5$ et pour tout réel x strictement positif, $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$ donc pour tout x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}h\prime \left(x\right)+2x-5$.

      Par conséquent, une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ est définie par $$F\left(x\right)=2\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}h\left(x\right)+x^2-5x$$

      Une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=2\ln x-{\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}+x^2-5x$

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   3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\mathrm{e}$ et $x={\mathrm{e}}^2$ (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).

      Pour tout réel x supérieur ou égal à e, $f\left(x\right)>0$, alors l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\mathrm{e}$ et $x={\mathrm{e}}^2$ est égale à : ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[2\ln x-{\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}+x^2-5x\right]}_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}}\\ & =& \left(2\ln {\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{{\left(\ln {\mathrm{e}}^2\right)}^2}{2}}+{\left({\mathrm{e}}^2\right)}^2-5{\mathrm{e}}^2\right)-\left(2\ln \mathrm{e}-{\displaystyle \frac{{\left(\ln \mathrm{e}\right)}^2}{2}}+{\mathrm{e}}^2-5\mathrm{e}\right)\\ & =& \left(4\ln \mathrm{e}-{\displaystyle \frac{{\left(2\ln \mathrm{e}\right)}^2}{2}}+{\mathrm{e}}^4-5{\mathrm{e}}^2\right)-\left(2-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\mathrm{e}}^2-5\mathrm{e}\right)\\ & =& 4-2+{\mathrm{e}}^4-5{\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\mathrm{e}}^2+5\mathrm{e}\\ & =& {\mathrm{e}}^4-6{\mathrm{e}}^2+5\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \approx & \mathrm{24,4}\end{array}$$

      L'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\mathrm{e}$ et $x={\mathrm{e}}^2$ est ${\mathrm{e}}^4-6{\mathrm{e}}^2+5\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Soit arrondie au dixième, 24,4 unités d'aire.

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