Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On considère la fonction g définie sur l'intervalle par .
Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :
x | 0 | α | ||||
En utilisant une calculatrice on a obtenu .
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle .
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle , alors pour tout réel x strictement positif,
D'où le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle
x | 0 | α | |||
− | + |
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
On note la courbe représentative de la fonction f dans le repère .
Déterminer la limite de la fonction f en 0.
et alors par produit
Donc
Ainsi,
Déterminer la limite de la fonction f en .
et (théorème du cours)
Donc
Ainsi,
On note la fonction dérivée de la fonction f.
Calculer et montrer que pour tout réel x de l'intervalle , on a :
Pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie sur l'intervalle par . Soit .
En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Or donc est du même signe que g sur l'intervalle
D'où le tableau des variations de la fonction f
x | 0 | α | ||||
− | + | |||||
Déterminer le signe de pour tout réel x supérieur ou égal à e.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Comme , nous avons . Or sur l'intervalle , f est strictement croissante donc pour tout réel ,
Comme , nous avons : Pour tout réel x supérieur ou égal à e, .
Soit h la fonction définie sur l'intervalle par .
Calculer la dérivée de h.
Pour tout réel x strictement positif, posons alors d'où . Soit
est la fonction définie sur l'intervalle par .
En remarquant que pour tout x de l'intervalle , on a : , trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle .
f est la fonction définie sur l'intervalle par et pour tout réel x strictement positif, donc pour tout x de l'intervalle , on a : .
Par conséquent, une primitive F de la fonction f sur l'intervalle est définie par
Une primitive de la fonction f sur l'intervalle est la fonction F définie par
Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).
Pour tout réel x supérieur ou égal à e, , alors l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à : .
L'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est . Soit arrondie au dixième, 24,4 unités d'aire.
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