Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

(Source : INSEE)
Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang $x_{i}$ de l'année	0	1	2	3	4	5	6
Indice $y_{i}$ des prix	100	106,3	114,3	126,1	143,6	166,3	181,5

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.
Entre 2000 et 2006, l'indice des prix est passé de l'indice 100 à l'indice 181,5. L'indice a donc augmenté de 81,5%.
Représenter le nuage de points $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques :
- sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;
- sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).

L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose $z = \ln y$ .

Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au millième) :
Rang $x_{i}$ 0 1 2 3 4 5 6
$z_{i} = \ln y_{i}$ 4,605 4,666 4,739 4,837 4,967 5,114 5,201
Dans cette question les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
  Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z = 0,104 x + 4,564$ (coefficients arrondis au millième).
2. En déduire une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.
  Pour tout réel $y > 0$ , $z = \ln y \Leftrightarrow y = \exp z$ d'où $\begin{array}{l} y = e^{0,104 x + 4,564} & \Leftrightarrow & y = e^{4,564} \times e^{0,104 x} \\ \Leftrightarrow & y \approx 95,967 e^{0,104 x} \end{array}$
  Ainsi, une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année est $y \approx 95,967 e^{0,104 x}$
On prend l'approximation $y \approx 96 e^{0,104 x}$ et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
1. Déterminer le plus petit entier n tel que $96 e^{0,104 n} ⩾ 250$ .
  $\begin{array}{l} 96 e^{0,104 n} ⩾ 250 & \Leftrightarrow & e^{0,104 n} ⩾ \frac{250}{96} \\ \Leftrightarrow & 0,104 n ⩾ \ln (\frac{125}{48}) & la fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 125 - \ln 48}{0,104} & \approx 9,2 \end{array}$
  Le plus petit entier n tel que $96 e^{0,104 n} ⩾ 250$ est 10.
2. Donner une interprétation du résultat obtenu.
  Le rang 10 correspond à l'année 2010
  On estime que l'indice des prix dépassera 250 à partir de 2010.

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Rang $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6
$z_{i} = \ln y_{i}$	4,605	4,666	4,739	4,837	4,967	5,114	5,201