sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln x+2x^2-3$.

   Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :

   x	0			α		$+\infty$
   $g\left(x\right)$		$-\infty$				$+\infty$

   En utilisant une calculatrice on a obtenu $\alpha \approx \mathrm{1,19}$.
   Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   Comparer $g\left(x\right)$ et $g\left(\alpha \right)$

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+2x-5$.

   On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

   1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

   2. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f .

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a :$$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$$

   2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.

   3. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ pour tout réel x supérieur ou égal à e.
      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$.

   1. Calculer la dérivée $h\prime$ de h.

   2. En remarquant que pour tout x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}h\prime \left(x\right)+2x-5$, trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ .

   3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\mathrm{e}$ et $x={\mathrm{e}}^2$ (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).

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