Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soient f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels et C sa courbe tracée ci-dessous.
La droite D est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives , et .
Ces trois points n'appartiennent pas à la courbe C.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.
L'ordonnée à l'origine de la droite D est égale à :
0 | 1 | 3 |
Le nombre dérivé est égal à :
5 |
Sachant que l'aire coloriée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OABE , la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
Sur l'intervalle l'équation :
possède deux solutions distinctes. | ne possède pas de solution. | possède une unique solution. |
Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.
Sur ce site, une étude statistique a montré que :
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
Traduire la situation par un arbre de probabilité.
Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final.
Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.
Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ?
Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième).
Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. La ville compte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G.
Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous.
Philippe cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables.
A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse.
À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.
On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N et T :
Une des deux matrices N ou T est la matrice . Sans calculs, indiquer quelle est la matrice en justifiant la réponse.
Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-il pu suivre ? Expliquer.
Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l'effectuer.
Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).
| Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
| Rang de l'année | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Indice des prix | 100 | 106,3 | 114,3 | 126,1 | 143,6 | 166,3 | 181,5 |
On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.
Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.
Représenter le nuage de points associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques :
L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose .
Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de seront arrondies au millième) :
| Rang | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4,605 |
Dans cette question les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
En déduire une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.
On prend l'approximation et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
Déterminer le plus petit entier n tel que .
Donner une interprétation du résultat obtenu.
Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On considère la fonction g définie sur l'intervalle par .
Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :
| x | 0 | α | ||||
En utilisant une calculatrice on a obtenu .
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle .
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
On note la courbe représentative de la fonction f dans le repère .
Déterminer la limite de la fonction f en 0.
Déterminer la limite de la fonction f en .
On note la fonction dérivée de la fonction f .
Calculer et montrer que pour tout réel x de l'intervalle , on a :
En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.
Déterminer le signe de pour tout réel x supérieur ou égal à e.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit h la fonction définie sur l'intervalle par .
Calculer la dérivée de h.
En remarquant que pour tout x de l'intervalle , on a : , trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle .
Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).
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