Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soient f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels et C sa courbe tracée  ci-dessous.
La droite D est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives 40, 417975 et 017975.
Ces trois points n'appartiennent pas à la courbe C.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.

  1. L'ordonnée à l'origine de la droite D est égale à :

    • 0
    • 1
    • 3
  2. Le nombre dérivé f0 est égal à :

    • -13
    • 5
    • -3
  3. Sachant que l'aire coloriée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OABE , la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 04 est :

    • 17975
    • 71675
    • -17975
  4. Sur l'intervalle 04 l'équation fx=0 :

    • possède deux solutions distinctes.
    • ne possède pas de solution.
    • possède une unique solution.

EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine.       Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.
Sur ce site, une  étude statistique a montré que :

On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :

  1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

  2. Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final.

  3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.

  4. Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ?

  5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième).


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. La ville compte sept stations de location nommées  A, B, C, D, E, F et G.

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Philippe cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables.

    1. A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse.

    2. À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

  2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N et T :N=498559296107106481085109457528455101086112969411462445260etT=49845919610610648108410945752845581086110969411461445060

    1. Une des deux matrices N ou T est la matrice M3. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M3 en justifiant la réponse.

    2. Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-il pu suivre ? Expliquer.

  3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l'effectuer.


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

(Source : INSEE)
Année 2000200120022003200420052006
Rang xi de l'année 0123456
Indice yi des prix 100106,3114,3126,1143,6166,3181,5

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

  1. Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.

  2. Représenter le nuage de points Mixiyi associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques :

    • sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;
    • sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).

L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose z=lny.

  1. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de zi seront arrondies au millième) :

    Rang xi0123456
    zi=lnyi4,605      
  2.  Dans cette question les calculs  effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

    2. En déduire une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

  3. On prend l'approximation y96e0,104x et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.

    1. Déterminer le plus petit entier n tel que 96e0,104n250.

    2. Donner une interprétation du résultat obtenu.


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal Oıȷ.

  1. On considère la fonction g définie sur l'intervalle 0+ par gx=lnx+2x2-3.

    Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :

    x0  α + ∞

    gx

     

    − ∞

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    + ∞

    En utilisant une calculatrice on a obtenu α1,19.
    Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle 0+.

  2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=2x-lnxx+2x-5.

    On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère Oıȷ.

    1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

    2. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.

  3. On note f la fonction dérivée de la fonction f .

    1. Calculer fx et montrer que pour tout réel x de l'intervalle 0+, on a :fx=gxx2

    2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle 0+ et dresser son tableau de variations.

    3. Déterminer le signe de fx pour tout réel x supérieur ou égal à e.
      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

  4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle 0+ par hx=lnx2.

    1. Calculer la dérivée h de h.

    2. En remarquant que pour tout x de l'intervalle 0+, on a : fx=2x-12hx+2x-5, trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle 0+ .

    3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e et x=e2 (On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).



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