sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

   • ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans ce cas, 75% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final donc $p\left(L\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $p_L\left(S\right)=\mathrm{0,75}$ d'où $$p_L\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$$

   • ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ des annonces reçoivent une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet donc $p\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p_T\left(S\right)=\mathrm{0,57}$ d'où $$p_T\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,57}=\mathrm{0,43}$$

   • Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère d'où $$\begin{array}{lll}p\left(A\right)& =& 1-\left(p\left(L\right)+p\left(T\right)\right)\\ & =& 1-\left({\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{15}}\end{array}$$ et le vendeur retire alors son objet de la vente alors $p_A\left(\overline{S}\right)=1$ et $p_A\left(S\right)=0$.

   L'arbre de probabilité traduisant la situation est :

2. Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final.

   $$\begin{array}{lll}p\left(L\cap S\right)& =& p_L\left(S\right)\times p\left(L\right)\\ & =& \mathrm{0,75}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}\\ & =& \mathrm{0,45}\end{array}$$

   La probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final est égale à 0,45.

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3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.

   Les évènements L, T et A déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(S\cap L\right)+p\left(S\cap T\right)+p\left(S\cap A\right)$$

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(T\cap S\right)& =& p_T\left(S\right)\times p\left(L\right)\\ & =& \mathrm{0,57}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =& \mathrm{0,19}\end{array}$$

   L'objet étant retiré de la vente si l'évènement A est réalisé, alors $p_A\left(S\right)=0$ d'où $p\left(S\cap A\right)=0$

   Donc $$\begin{array}{ll}p\left(S\right)& =& p\left(S\cap L\right)+p\left(S\cap T\right)+p\left(S\cap A\right)\\ & =& \mathrm{0,45}+\mathrm{0,19}+0\\ & =& \mathrm{0,64}\end{array}$$

   La probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.

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4. Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement L sachant que l'évènement S est réalisé : $$\begin{array}{lll}{p}_S\left(L\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(S\cap L\right)}{p\left(S\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,64}}}\\ & =& \mathrm{0,703125}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'un objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce sachant que le vendeur est satisfait est 0,7.

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5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième).

   Les déroulements des enchères sont indépendants les uns des autres alors, la loi de probabilité associée au nombre de ventes où Marc est satisfait est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,64.

   Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :

   L'évènement «Marc est satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo» correspond aux issues $SSS$, $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$ . Donc la pobabilité p cherchée est $$p={\mathrm{0,64}}^3+3\times {\mathrm{0,64}}^2\times \left(1-\mathrm{0,64}\right)=\mathrm{0,704512}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo est 0,7.

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