sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, 0,5 point ; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse, 0 point.

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1. Un véhicule coûte 15 000 € en 2008. Il se déprécie de 10 % par an (c'est-à-dire que son prix de revente baisse de 10 % par an). Sa valeur à la vente au bout de cinq ans sera de :

   Soit $v_0=15000$ le prix du véhicule en 2008. Pour tout entier naturel n, notons $v_n$ le prix du véhicule n années plus tard.

   D'une année sur l'autre, le prix de revente baisse de 10%. Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 10% est égal à $$1-{\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{0,9}$$ Donc pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,9}\times v_n$. Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{v}_n={\mathrm{0,9}}^n\times v_0& \text{Soit}& v_n={\mathrm{0,9}}^n\times 15000\end{array}$$

   Le prix de vente au bout de cinq ans est donc $$\begin{array}{ccccc}{v}_5& =& {\mathrm{0,9}}^5\times 15000& =& \mathrm{8857,35}\end{array}$$

   7 500 €

   8 857,35 €

   5 000 €

2. Soit u une fonction strictement positive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=0$ alors :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln X=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left[u\left(x\right)\right]=-\infty$

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left[u\left(x\right)\right]=+\infty$

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left[u\left(x\right)\right]=-\infty$

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left[u\left(x\right)\right]=0$

3. Voici la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :

   $x_i$	−10	0	10
   $p_i$	0,2	0,3	0,5

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   L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\begin{array}{ccccc}\mu & =& -10\times \mathrm{0,2}+0\times \mathrm{0,3}+10\times \mathrm{0,5}& =& 3\end{array}$$

   l'espérance mathématique de cette variable est 3

   l'espérance mathématique de cette variable est − 3

   l'espérance mathématique de cette variable est 0

4. Pour tout $a>0$, $\ln 3a-\ln a$ est égale à :

   Pour tout réel $a>0$, $\ln 3a-\ln a=\left(\ln 3+\ln a\right)-\ln a=\ln 3$

   $\ln 3$

   $\ln \left(2a\right)$

   $2\ln a$

5. ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x+1}\mathrm{d}x}$ est égale à :

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x+1}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{2x+1}\right]}_0^1}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^1\end{array}$$

   ${\mathrm{e}}^3-1$

   $2{\mathrm{e}}^3-2\mathrm{e}$

   ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-\mathrm{e}}{2}}$

6. Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{4+2x}$ est égale à :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{e}}^{4+2x}& =& {\mathrm{e}}^{2\left(2+x\right)}& =& {\left({\mathrm{e}}^{x+2}\right)}^2\end{array}$$

   ${\left({\mathrm{e}}^2\right)}^{2x}$

   ${\left({\mathrm{e}}^{x+2}\right)}^2$

   ${\mathrm{e}}^2+{\mathrm{e}}^{2x}$

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