sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

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partie 1

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités : 2 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 10 milliers d'euros en ordonnée.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G\left(x;y\right)$ et le placer sur la figure précédente

   Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{0+1+2+3+4+5}{6}}=\mathrm{2,5}& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{55+58+64+85+105+112}{6}}={\displaystyle \frac{479}{6}}\approx \mathrm{79,8}\end{array}$$

   Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont $\mathrm{G}\left(\mathrm{2,5};{\displaystyle \frac{479}{6}}\right)$.

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On décide d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions

partie 2

1. 1. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à 10⁻¹ près.

      Une équation de la droite (D) d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{12,8}x+\mathrm{47,9}$ (coefficients arrondis à 10⁻¹ près)

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   2. Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1.

      La droite (D) passe par le point moyen G et le point de coordonnées $\left(6;\mathrm{124,7}\right)$.

2. En supposant que l'évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d'affaires réalisé en 2011 (on précisera la méthode utilisée).

   Le rang de l'année 2011 est 10. D'où une estimation du chiffre d'affaires : $$\mathrm{12,8}\times 10+\mathrm{47,9}=\mathrm{175,9}$$

   Avec cet ajustement, on peut prévoir un chiffre d'affaires en 2011 égal à 175,9 milliers d'euros.

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partie 3

On décide d'ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe $C_f$ représentant, dans le repère déjà défini, une fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=a{b}^x$, où a et b sont deux nombres réels strictement positifs.

1. On impose à la courbe représentative de la fonction f de passer par les points $A\left(0;55\right)$ et $B\left(5;112\right)$.
   Calculer les valeurs exactes de a et b telles que la fonction f vérifie cette condition, puis donner la valeur approchée arrondie à 10⁻² près de b

   La courbe représentative de la fonction f passe par les points $A\left(0;55\right)$ et $B\left(5;112\right)$ alors les coordonnées des points A et B vérifient l'équation de la courbe. D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{c}a{b}^0=55\hfill \\ a{b}^5=112\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=55\hfill \\ 55\times b^5=112\end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}a=55\hfill \\ b^5={\displaystyle \frac{112}{55}}\end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}a=55\hfill \\ b={\left({\displaystyle \frac{112}{55}}\right)}^{\frac{1}{5}}\approx \mathrm{1,15}\hfill \end{array}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=55\times {\left({\displaystyle \frac{112}{55}}\right)}^{\frac{x}{5}}$. Soit en prenant ${\left({\displaystyle \frac{112}{55}}\right)}^{\frac{1}{5}}\approx \mathrm{1,15}$, $f\left(x\right)=55\times {\mathrm{1,15}}^x$.

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2. Pour la suite, on considérera que $f\left(x\right)=55\times {\mathrm{1,15}}^x$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
   Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé en 2011 (on arrondira le résultat au centième).

   Avec cet ajustement, le chiffre d'affaires en 2011 sera :$$55\times {\mathrm{1,15}}^{10}\approx \mathrm{222,51}$$

   Avec ce nouvel ajustement, le chiffre d'affaires réalisé en 2011 est de 222,51 milliers d'euros.

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partie 4

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Estimer en quelle année le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros, en utilisant successivement les ajustements affine et exponentiel des parties 2 et 3.

Notons n le rang de l'année où le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros.

• ajustement affine

  n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{12,8}n+\mathrm{47,9}⩾300& \iff & n⩾{\displaystyle \frac{300-\mathrm{47,9}}{\mathrm{12,8}}}\\ & \text{Soit}& n=20\end{array}$$

  Avec l'ajustement affine, c'est en 2021, que le chiffre d'affaires dépassera 300 milliers d'euros.

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• ajustement exponentiel

  n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $$\begin{array}{ccc}55\times {\mathrm{1,15}}^n⩾300& \iff & {\mathrm{1,15}}^n⩾{\displaystyle \frac{300}{55}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,15}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{60}{11}}\right)\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,15}⩾\ln \left({\displaystyle \frac{60}{11}}\right)\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{60}{11}}\right)}{\ln \mathrm{1,15}}}\hfill \\ & \text{Soit}& n=13\end{array}$$

  Avec l'ajustement exponentiel, c'est en 2014, que le chiffre d'affaires dépassera 300 milliers d'euros.

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