sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Grâce aux données de l'énoncé, donner $P\left(F\cap T\right)$, $P\left(F\right)$ et $P_{\overline{F}}\left(T\right)$

      • 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe donc $P\left(F\right)=\mathrm{0,9}$.

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      • parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable donc $P_{\overline{F}}\left(T\right)=\mathrm{0,87}$.

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      • 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable donc $P\left(F\cap T\right)=\mathrm{0,8}$.

   2. Calculer $P_F\left(T\right)$

      $$\begin{array}{ccc}{P}_F\left(T\right)={\displaystyle \frac{P\left(F\cap T\right)}{P\left(F\right)}}& \text{Soit}& P_F\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{0,889}\end{array}$$

      Arrondie à 10⁻³ près, la probabilité qu'un ménage possédant un téléphone fixe ait aussi un téléphone portable est égale à 0,889.

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2. Démontrer que la probabilité de l'évènement T est 0,887.

   Les évènements F et T sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(T\right)=P\left(F\cap T\right)+P\left(\overline{F}\cap T\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& P\left(\overline{F}\cap T\right)=P_{\overline{F}}\left(T\right)\times P\left(\overline{F}\right)& \text{et}& P\left(\overline{F}\right)=1-P\left(F\right)\\ \text{Soit}& P\left(\overline{F}\cap T\right)=\mathrm{0,87}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,087}& \text{et}& P\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}\end{array}$$

   Donc $$P\left(T\right)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,087}=\mathrm{0,887}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement T est 0,887.

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3. Sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ?

   $$P_{\overline{T}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{P\left(F\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}}$$

   Or d'après la formule des probabilités totales :$$\begin{array}{lll}P\left(F\right)=P\left(F\cap T\right)+P\left(F\cap \overline{T}\right)& \iff & P\left(F\cap \overline{T}\right)=P\left(F\right)-P\left(F\cap T\right)\\ & \text{Soit}& P\left(F\cap \overline{T}\right)=\mathrm{0,9}-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,1}\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{lll}P\left(\overline{T}\right)=1-P\left(T\right)& \text{Soit}& P\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,887}=\mathrm{0,113}\end{array}$$

   D'où : $$P_{\overline{T}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,113}}}\approx \mathrm{0,885}$$

   Arrondie à 10⁻³ près, la probabilité qu'un ménage posséde un téléphone fixe, sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable est égale à 0,885.

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4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages. Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable ?

   Choisir successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages est modélisé par la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès est égale à 0,887.
   La loi de probabilité associée au nombre de ménages ayant un téléphone portable est une loi binomiale de paramètres 0,887 et 3.

   L'évènement E « deux ménages au plus ont un téléphone portable » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois ménages ont un téléphone portable » dont la probabilité est égale à ${\mathrm{0,887}}^3$ . D'où $$P\left(E\right)=1-{\mathrm{0,887}}^3\approx \mathrm{0,302}$$

   Arrondie à 10⁻³ près, la probabilité qu'il y ait au plus deux ménages ayant un téléphone portable est égale à 0,302.

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