sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telles que pour tout réel x de cet intervalle $f\left(x\right)=\left(x-\mathrm{e}\right)\left(\ln x-1\right)$ et $g\left(x\right)=\ln x-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x}}$
La courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan est donnée en annexe et l'unité graphique est 2 cm.

partie 1

1. Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Par conséquent, la fonction $u:x⟼-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x}}$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. D'autre part, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

   Donc la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ comme somme de deux fonctions strictement croissantes.

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2. Calculer $g\left(\mathrm{e}\right)$ et, grâce à la question 1, donner le signe de $g\left(x\right)$ pour tout x strictement positif.

   $g\left(\mathrm{e}\right)=\ln \mathrm{e}-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}}=1-1=0$

   La fonction g étant strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, il s'ensuit que :

   • Si $0<x<\mathrm{e}$ alors, $g\left(x\right)<g\left(\mathrm{e}\right)$ soit $g\left(x\right)<0$

   • Si $x>\mathrm{e}$ alors, $g\left(x\right)>g\left(\mathrm{e}\right)$ soit $g\left(x\right)>0$

   D'où le tableau établissant le signe de $g\left(x\right)$ en fonction du réel x

   x	0		e		$+\infty$
   Signe de $g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

partie 2

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en $+\infty$.

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-\mathrm{e}\right)=-\mathrm{e}$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\ln x-1\right)=-\infty$ donc par produit, $\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-\mathrm{e}\right)\left(\ln x-1\right)=+\infty$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\mathrm{e}\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\ln x-1\right)=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\mathrm{e}\right)\left(\ln x-1\right)=+\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. On note $f\prime$ la dérivée de f. Démontrer que $f\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ pour tout nombre réel x strictement positif.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons :$$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x-\mathrm{e}& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln x-1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

   Alors $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$. Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& \left(\ln x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}\left(x-\mathrm{e}\right)\\ & =& \ln x-1+1-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x}}\hfill \\ & =& \ln x-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout nombre réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$

   ---

3. Établir le tableau des variations de la fonction f. (On y fera figurer les limites de la fonction f en 0 et en $+\infty$)

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée et les variations de f.

   x	0			e		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$		$+\infty$		0		$+\infty$

   Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=\mathrm{e}$ et $f\left(\mathrm{e}\right)=\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}\right)\left(\ln \mathrm{e}-1\right)=0$

4. Représenter graphiquement la fonction f sur la feuille annexe jointe au sujet.

partie 3

Soit F la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que pour tout réel x de cet intervalle :$$F\left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\mathrm{e}x\right)\ln x+2\mathrm{e}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2$$

1. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   Dire que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   • Calculons la dérivée de la fonction h définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\mathrm{e}x\right)\ln x$. $h=uv$ d'où $h\prime =u\prime v+uv\prime$. Avec pour tout réel x strictement positif, $$\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\mathrm{e}x& & u\prime \left(x\right)=x-\mathrm{e}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\ln x& & v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

     D'où $$\begin{array}{ccc}h\prime \left(x\right)& =& \left(x-\mathrm{e}\right)\ln x+\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\mathrm{e}x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& \left(x-\mathrm{e}\right)\ln x+{\displaystyle \frac{x}{2}}-\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

   • Calculons la dérivée de la fonction F$$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& \left(x-\mathrm{e}\right)\ln x+{\displaystyle \frac{x}{2}}-\mathrm{e}+2\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{3}{2}}x\\ & =& \left(x-\mathrm{e}\right)\ln x-x+\mathrm{e}\hfill \\ & =& \left(x-\mathrm{e}\right)\left(\ln x-1\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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2. On considère le domaine délimité par la courbe $C_f$ l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$.

   1. Hachurer ce domaine sur le dessin.

   2. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-f\left(1\right)\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\mathrm{e}}^2\right)\ln \mathrm{e}+2{\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{e}}^2-\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{e}\right)\ln 1-2\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{e}}^2-2\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{e}}^2-2\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

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   3. En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l'aire du domaine exprimée en cm².

      • f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc f est continue sur cet intervalle.

      • D'après la question 3 de la partie 2, le minimum de la fonction f est égal à 0. Donc f est positive sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ , la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. : l'aire A, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$ est : $$A={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{e}}^2-2\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ Or l'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté. Exprimée en cm², l'aire du domaine est donc : $$A=4\times \left({\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{e}}^2-2\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\approx \mathrm{3,42}$$

      Arrondie au centième, l'aire A du domaine est de 3,42 cm².

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