Baccalauréat novembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel n par $u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 4}{3}$

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ (unités graphiques : 2 cm).
Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 x + 4}{3}$ .
1. Tracer la représentation graphique d de la fonction f ainsi que la droite Δ d'équation $y = x$ .
2. En utilisant d et Δ, construire $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
3. Conjecturer $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre de termes de la suite $(u_{n})$ .
  Graphiquement, si la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ quand n tend vers l'infini alors $ℓ$ est l'abscisse du point d'intersection des droites d d'équation $y = \frac{2 x + 4}{3}$ et Δ d'équation $y = x$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 4$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  définition :
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n et en déduire que $u_{n} = 4 - 3 {(\frac{2}{3})}^{n}$ .
  Si $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n, $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ .
3. Quelle est la limite de la suite $(u_{n})$ ?

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