sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires, exprimé en milliers d'euros, réalisé par une chaîne commerciale :

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5
Chiffre d'affaires en milliers d'euros $y_i$	55	58	64	85	105	112

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partie 1

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités : 2 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 10 milliers d'euros en ordonnée.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G\left(x;y\right)$ et le placer sur la figure précédente

On décide d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions

partie 2

1. 1. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à 10⁻¹ près.

   2. Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1.

2. En supposant que l'évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d'affaires réalisé en 2011 (on précisera la méthode utilisée).

partie 3

On décide d'ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe $C_f$ représentant, dans le repère déjà défini, une fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=a{b}^x$, où a et b sont deux nombres réels strictement positifs.

1. On impose à la courbe représentative de la fonction f de passer par les points $A\left(0;55\right)$ et $B\left(5;112\right)$.
   Calculer les valeurs exactes de a et b telles que la fonction f vérifie cette condition, puis donner la valeur approchée arrondie à 10⁻² près de b

2. Pour la suite, on considérera que $f\left(x\right)=55\times {\mathrm{1,15}}^x$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
   Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé en 2011 (on arrondira le résultat au centième).

partie 4

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Estimer en quelle année le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros, en utilisant successivement les ajustements affine et exponentiel des parties 2 et 3.

Pour chacun des deux ajustements, le rang de l'année où le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros est le plus petit entier n solution d'une inéquation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{12,8}n+\mathrm{47,9}⩾300& \text{ou}& 55\times {\mathrm{1,15}}^n⩾300\end{array}$$

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