sujet : Asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Calculer le pourcentage d'évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les années 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centième.

   Le taux du pourcentage d'évolution du prix du kilogramme de pain entre les années 2000 et 2005 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{2,16}-\mathrm{1,90}}{\mathrm{1,90}}}\times 100\approx \mathrm{13,68}$$

   Entre les années 2000 et 2005, le prix du kilogramme de pain dans ce quartier a augmentré de 13,68%.

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2. Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère du plan.

   1. Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié ?

      Les points du nuage semblent presque alignés, un ajustement affine peut être envisagé.

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   2. Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10⁻³ près.

      Une équation de la droite (D) d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{0,055}x+\mathrm{1,842}$ (coefficients arrondis au millième)

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   3. Représenter la droite (D) dans le repère précédent.

      La droite (D) passe par les points de coordonnées $\left(1;\mathrm{1,897}\right)$ et $\left(6;\mathrm{2,172}\right)$

   4. En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième).

      Le rang de l'année 2010 est 11. D'où une estimation du prix du kilogramme de pain : $$\mathrm{0,055}\times 11+\mathrm{1,842}=\mathrm{2,447}$$

      Avec cet ajustement, on peut prévoir que le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 sera égal à 2,45 €.

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3. On considère maintenant un autre modèle pour étudier l'évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevés de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5 % par an.
   En admettant que le prix du kilogramme de pain continue d'augmenter chaque année de 1,5 % calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième).

   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 1,5 % est égal à 1,015.

   Pour tout entier naturel n, on appelle $u_n$ le prix du kilogramme de pain pour l'année 2005 + n. Ainsi, $u_0=\mathrm{2,16}$

   Dire qu'à partir de 2005, le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5 % par an signifie que pour tout entier n, $u_{n+1}=u_n\times \mathrm{1,015}$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,015.

   Par conséquent, le prix du kilogramme de pain obtenu avec ce second modèle pour l'année 2005 + n est $u_n=\mathrm{2,16}\times {\mathrm{1,015}}^n$.

   D'où une estimation du prix du kilogramme pour l'année 2010 :$$\mathrm{2,16}\times {\mathrm{1,015}}^5\approx \mathrm{2,33}$$

   En supposant que le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5 % par an, on peut prévoir que le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 sera égal à 2,33 €.

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4. Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60 euros.

   • Modèle affine

     Soit n le rang de l'année cherchée. n est le plus petit entier tel que : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,055}n+\mathrm{1,842}⩾\mathrm{2,6}& \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}-\mathrm{1,842}}{\mathrm{0,055}}}\approx \mathrm{13,8}\end{array}$$ Soit $n=14$. Or 14 est le rang de l'année 2013.

     Avec le modèle affine, le prix du kilogramme de pain dépassera 2,60 euros à partir de 2013.

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   • Modèle exponentiel

     Le prix du kilogramme de pain obtenu avec ce second modèle pour l'année 2005 + n est $u_n=\mathrm{2,16}\times {\mathrm{1,015}}^n$ . Par conséquent, n est le plus petit entier tel que : $$\begin{array}{lll}\mathrm{2,16}\times {\mathrm{1,015}}^n⩾\mathrm{2,6}& \iff & {\mathrm{1,015}}^n⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{2,16}}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,015}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{2,16}}}\right)\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{1,015}\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{2,16}}}\right)\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{2,16}}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,015}\right)}}\approx \mathrm{12,5}\hfill \end{array}$$ Soit $n=13$. Ce qui correspond à l'année 2018.

     Avec le second modèle, le prix du kilogramme de pain dépassera 2,60 euros à partir de 2018.

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