Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à .
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à .
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à .
On note C l'état : « l'enfant atteint la cible » et on note R l'état : « l'enfant n'atteint pas la cible ».
Représenter la situation par un graphe probabiliste.
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
On désigne par n un nombre entier naturel non nul.
Soient l'évènement : « l'enfant atteint la cible au n-ième lancer » et l'évènement : « l'enfant n'atteint pas la cible au n-ième lancer ». L'état probabiliste lors du n-ième lancer est donné par la matrice ligne où désigne la probabilité de l'évènement et la probabilité de l'évènement .
Écrire la matrice ligne de l'état probabiliste initial.
Déterminer la matrice ligne et donner une interprétation du résultat obtenu.
Soit la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
Déterminer c et r.
théorème :
Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation où avec .
L'adulte affirme qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre. Cette affirmation est-elle justifiée ?
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