Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 34.
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 18.
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 110.

  1. On note C l'état : « l'enfant atteint la cible » et on note R l'état : « l'enfant n'atteint pas la cible ».

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

      Soient Cn l'évènement : « l'enfant atteint la cible au n-ième lancer » et Rn l'évènement : « l'enfant n'atteint pas la cible au n-ième lancer ».

      • Si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 34 alors ECn(Cn+1)=34etECn(Rn+1)=1-34=14

      • Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 18 alors ERn(Cn+1)=18etERn(Rn+1)=1-18=78

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.

      La matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique est donc M=(34141878)


  2. On désigne par n un nombre entier naturel non nul.
    Soient Cn l'évènement : « l'enfant atteint la cible au n-ième lancer » et Rn l'évènement : « l'enfant n'atteint pas la cible au n-ième lancer ». L'état probabiliste lors du n-ième lancer est donné par la matrice ligne En=(cnrn)cn désigne la probabilité de l'évènement Cn et rn la probabilité de l'évènement Rn.

    1. Écrire la matrice ligne E1 de l'état probabiliste initial.

      Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 110 donc E1=(110910)


    2. Déterminer la matrice ligne E3 et donner une interprétation du résultat obtenu.

      D'après une propriété des matrices de transition,Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si P0 est la matrice ligne décrivant l'état initial, et Pn l'état probabiliste à l'étape n alors, Pn=P0Mn.E3=E1×M2SoitE3=(110910)×(34141878)2=(3112897128)

      E3=(3112897128). Au troisième lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 31128.


  3. Soit E=(cr) la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer c et r.

      Les coefficients de la matrice de transition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état En converge vers un état stable E=(cr) indépendant de l'état initial.
      E est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P0 ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation X=X×MX=(xy) avec x+y= 1 .
      E=E×M

      Soit (cr)=(cr)×(34141878) avec c+r=1

      D'où c et r sont solutions du système {c=34×c+18×rr=14×c+78×rc+r=1{c4-r8=0-c4+r8=0c+r=1

      Ainsi, c et r sont solutions du système {2c-r=0c+r=1{2c=r3c=1{r=23c=13

      L'état stable du système est E=(1323).


    2. L'adulte affirme qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre. Cette affirmation est-elle justifiée ?

      L'état stable du système est E=(1323), c'est à dire qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 13 et la rate avec une probabilité égale à 23.

      Après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre.



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