Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à .
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à .
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à .
On note C l'état : « l'enfant atteint la cible » et on note R l'état : « l'enfant n'atteint pas la cible ».
Représenter la situation par un graphe probabiliste.
Soient l'évènement : « l'enfant atteint la cible au n-ième lancer » et l'évènement : « l'enfant n'atteint pas la cible au n-ième lancer ».
Si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à alors
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à alors
Le graphe probabiliste qui représente la situation est :
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique est donc
On désigne par n un nombre entier naturel non nul.
Soient l'évènement : « l'enfant atteint la cible au n-ième lancer » et l'évènement : « l'enfant n'atteint pas la cible au n-ième lancer ». L'état probabiliste lors du n-ième lancer est donné par la matrice ligne où désigne la probabilité de l'évènement et la probabilité de l'évènement .
Écrire la matrice ligne de l'état probabiliste initial.
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à donc
Déterminer la matrice ligne et donner une interprétation du résultat obtenu.
. Au troisième lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à .
Soit la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
Déterminer c et r.
Les coefficients de la matrice de transition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état converge vers un état stable indépendant de l'état initial.
E est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation où avec .
Soit avec
D'où c et r sont solutions du système
Ainsi, c et r sont solutions du système
L'état stable du système est .
L'adulte affirme qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre. Cette affirmation est-elle justifiée ?
L'état stable du système est , c'est à dire qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à et la rate avec une probabilité égale à .
Après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre.
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