sujet : Asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

   • L'association a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 12 enfants de moins de 10 ans. D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(A\right)={\displaystyle \frac{58}{87}}={\displaystyle \frac{2}{3}}& \text{et}& p\left(C\right)={\displaystyle \frac{12}{87}}={\displaystyle \frac{4}{29}}\end{array}$$
   • La moitié des adultes, un quart des enfants de moins de 10 ans ont emmené leur pique-nique. D'où $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(\overline{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& p_C\left(\overline{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$
   • 10 jeunes de 10 à 18 ans ont emmené leur pique-nique. Le nombre de jeunes de 10 à 18 ans est $$\begin{array}{ccc}87-\left(58+12\right)=17& \text{D'où}& p_B\left(\overline{R}\right)={\displaystyle \frac{10}{17}}\end{array}$$

   arbre pondéré

2. 1. Calculer la probabilité de l'évènement B.

      Il y a 17 jeunes de 10 à 18 ans donc $p\left(B\right)={\displaystyle \frac{17}{87}}$

      ---

   2. Calculer la probabilité de l'évènement $R\cap A$.

      $$p\left(R\cap A\right)=p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)$$

      Or $p_A\left(R\right)=1-p_A\left(\overline{R}\right)$ d'où $p_A\left(R\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Soit $$p\left(R\cap A\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

      Ainsi, $p\left(R\cap A\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

      ---

   3. Montrer que la probabilité de l'évènement R est égale à ${\displaystyle \frac{15}{29}}$.

      Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(R\right)=p\left(A\cap R\right)+p\left(B\cap R\right)+p\left(C\cap R\right)$$

      Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(B\cap R\right)=p_B\left(R\right)\times p\left(B\right)=\left(1-p_B\left(\overline{R}\right)\right)\times p\left(B\right)\hfill & \text{et}& p\left(C\cap R\right)=p_C\left(R\right)\times p\left(C\right)=\left(1-p_C\left(\overline{R}\right)\right)\times p\left(B\right)\hfill \\ \text{Soit}& p\left(B\cap R\right)={\displaystyle \frac{7}{17}}\times {\displaystyle \frac{17}{87}}={\displaystyle \frac{7}{87}}\hfill & & p\left(C\cap R\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{29}}={\displaystyle \frac{3}{29}}\hfill \end{array}$$

      Donc $$p\left(R\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{87}}+{\displaystyle \frac{3}{29}}={\displaystyle \frac{29+7+9}{87}}={\displaystyle \frac{45}{87}}={\displaystyle \frac{15}{29}}$$

      Ainsi, $p\left(R\right)={\displaystyle \frac{15}{29}}$

      ---

   4. Sachant que le participant choisi a pris le repas proposé par l'association, quelle est la probabilité que ce participant soit un adulte ?

      $$\begin{array}{lll}{p}_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(R\cap A\right)}{p\left(R\right)}}& \text{Soit}& p_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{29}{15}}={\displaystyle \frac{29}{45}}\end{array}$$

      Sachant que le participant choisi a pris le repas proposé par l'association, la probabilité que ce participant soit un adulte est égale à ${\displaystyle \frac{29}{45}}$

      ---

3. On note X le prix payé à l'association par un participant.

   1. Déterminer les différentes valeurs que peut prendre le prix X.

      Les différentes valeurs que peut prendre le prix X sont

      	A : adultes	B : jeunes	C : enfants
      prix de la sortie sans repas	20 €	15 €	8 €
      prix de la sortie avec repas	26 €	20 €	11 €

      ---

      L'ensemble des valeurs que peut prendre le prix X est $\left\{8;11;15;20;26\right\}$

      ---

   2. Établir la loi de probabilité du prix X.

      • $X=8$ quand l'évènement $C\cap \overline{R}$ est réalisé : $$\begin{array}{ccc}p\left(C\cap \overline{R}\right)=p_C\left(\overline{R}\right)\times p\left(C\right)& \text{Soit}& p\left(C\cap \overline{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{29}}={\displaystyle \frac{1}{29}}\end{array}$$

      • $X=11$ quand l'évènement $C\cap R$ est réalisé et $p\left(C\cap R\right)={\displaystyle \frac{3}{29}}$

      • $X=15$ quand l'évènement $B\cap \overline{R}$ est réalisé : $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap \overline{R}\right)=p_B\left(\overline{R}\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap \overline{R}\right)={\displaystyle \frac{10}{17}}\times {\displaystyle \frac{17}{87}}={\displaystyle \frac{10}{87}}\end{array}$$

      • $X=20$ quand l'évènement $A\cap \overline{R}$ ou l'évènement $B\cap R$ est réalisé Or $p\left(B\cap R\right)={\displaystyle \frac{7}{87}}$ et $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap \overline{R}\right)=p_A\left(\overline{R}\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap \overline{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$ D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X=20\right)=p\left(B\cap R\right)+p\left(A\cap \overline{R}\right)& \text{Soit}& p\left(X=20\right)={\displaystyle \frac{7}{87}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{36}{87}}={\displaystyle \frac{12}{29}}\end{array}$$

      • $X=26$ quand l'évènement $A\cap R$ est réalisé et $p\left(A\cap R\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

      La loi de probabilité du prix X est donc

      $X=x_i$	8	11	15	20	26
      $p\left(X=x_i\right)$	${\displaystyle \frac{1}{29}}$	${\displaystyle \frac{3}{29}}$	${\displaystyle \frac{10}{87}}$	${\displaystyle \frac{12}{29}}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$

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