sujet : Asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}& \text{et}& g\left(x\right)=2\ln \left({\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}\right)\end{array}$$

partie a : Étude des fonctions f et g.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

   2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)=\left(6-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$.

   3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et établir son tableau de variations.

2. 1. Soit h la fonction définie sur $\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}$.

      Le tableau de variations de la fonction h est donné ci dessous :

      x	$-\infty$			−1					$+\infty$
      $h\prime \left(x\right)$		−				−
      $h\left(x\right)$		1		$-\infty$		$+\infty$		1

      Déterminer, en le justifiant, le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$

      Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

   2. Déterminer la limite de la fonction g en $+\infty$. Quelle en est la conséquence graphique ?

3. Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ ci-dessous.

   1. Laquelle de ces deux fonctions est représentée par la courbe $C_1$ ?

   2. Déterminer graphiquement une valeur approchée arrondie à l'unité des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   3. Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.

      Le professeur a demandé à Perrine et Elliot de calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Voici des extraits de leurs productions :

      Production de Perrine :
      Une primitive de f est F telle que $F\left(x\right)=\left(8-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$, donc ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=5{\mathrm{e}}^{-1}-8{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{1,69}$.

      Production d'Elliot :
      Une primitive de f est F telle que $F\left(x\right)=\left(7x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\right){\mathrm{e}}^{x-4}$, donc ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{16,5}{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{6,07}$.

      Lors de la correction, le professeur indique que l'un des deux s'est trompé. Est-ce Perrine ou Elliot ? Justifier le choix.

      Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$$

partie b : Application économique

Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, la fonction f modélise la fonction d'offre des producteurs d'un certain produit et la fonction g modélise la fonction de demande des consommateurs pour ce même produit. La quantité x est exprimée en millier de tonnes et le prix $f\left(x\right)$ ou $g\left(x\right)$ est en euro par kg.
On rappelle que le prix d'équilibre est le prix qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre.
Par lecture graphique, donner une valeur approchée de la quantité d'équilibre $x_0$, ainsi qu'une valeur approchée du prix d'équilibre $y_0$.

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