sujet : Asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des quatre propositions a, b, c ou d est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'enlève aucun point.

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1. Une ville en pleine expansion a vu sa population augmenter de 20 % pendant quatre années consécutives, puis de 7 % durant chacune des cinq années suivantes, et enfin de 6 % la dixième et dernière année. Le taux d'augmentation annuel moyen (arrondi au dixième) durant la décennie qui vient de s'écouler s'élève à :

   Soit ${\displaystyle \frac{t}{100}}$ le pourcentage d'augmentation annuel moyen durant la décennie, alors t est solution de $$\begin{array}{lll}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}={\left(1+{\displaystyle \frac{20}{100}}\right)}^4\times {\left(1+{\displaystyle \frac{7}{100}}\right)}^5\times \left(1+{\displaystyle \frac{6}{100}}\right)& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}={\mathrm{1,2}}^4\times {\mathrm{1,07}}^5\times \mathrm{1,06}\\ & \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\mathrm{1,2}}^4\times {\mathrm{1,07}}^5\times \mathrm{1,06}\right)}^{\mathrm{0,1}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\mathrm{1,2}}^4\times {\mathrm{1,07}}^5\times \mathrm{1,06}\right)}^{\mathrm{0,1}}-1\\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{11,9}\hfill \end{array}$$

   • a. 33,0 %

   • b. 12,1 %

   • c. 11,9 %

   • d. 11,0 %

2. La population de la ville voisine a diminué de 5 % en 2008. Quel pourcentage d'augmentation (arrondi au dixième) devrait-elle connaître en 2009 pour que le nombre d'habitants le 1^er janvier 2010 soit égal au nombre d'habitants à la date du 1^er janvier 2008 ?

   Soit ${\displaystyle \frac{t}{100}}$ le pourcentage d'augmentation , alors t est solution de $$\begin{array}{lll}\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\times \left(1-{\displaystyle \frac{5}{100}}\right)=1& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,95}}}\\ & \iff & t=100\times \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,95}}}-1\right)\\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{5,3}\end{array}$$

   • a. 10,0 %

   • b. 5,3 %

   • c. 5,0 %

   • d. 4,7 %

3. Le double du logarithme d'un nombre est égal au logarithme de la moitié de ce nombre. Quel est ce nombre ?

   Soit x le nombre cherché alors, $x>0$ et $$\begin{array}{ccc}2\ln x=\ln {\displaystyle \frac{x}{2}}& \iff & 2\ln x=\ln x-\ln 2\\ & \iff & \ln x=-\ln 2\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   • a. − 1

   • b. 0

   • c. 0,5

   • d. 2

4. Une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[5;+\infty \right[$. Sa courbe représentative C dans un repère du plan admet une tangente T au point d'abscisse 6. Laquelle des équations suivantes est celle de la tangente T.

   Le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 6 est égal au nombre dérivé $f\prime \left(6\right)$.

   Comme la fonction f est dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[5;+\infty \right[$, on en déduit que $f\prime \left(6\right)⩽0$.

   Parmi les réponses proposées, seule la droite d'équation $y=-3x+3$ a un coefficient directeur négatif.

   • a. $y=-3x+3$

   • b. $y=x$

   • c. $y=6x-36$

   • d. $x=6$

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