sujet : Asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}& \text{et}& g\left(x\right)=2\ln \left({\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}\right)\end{array}$$

partie a : Étude des fonctions f et g.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      Nous avons $\underset{x\to +\infty }{\lim }7-x=-\infty$ et d'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-4=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-4}=+\infty$.

      Donc par produit des limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}=-\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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   2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)=\left(6-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$.

      Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ posons $$\begin{array}{lll}u\left(x\right)=7-x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-4}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-4}\end{array}$$

      f est le produit de deux fonctions dérivables $f=u\times v$ d'où f est dérivable et $f\prime =u\prime v+uv\prime$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{x-4}+\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}& \iff & f\prime \left(x\right)=\left(6-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\left(6-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$.

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   3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et établir son tableau de variations.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{x-4}>0$ donc sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe $\left(6-x\right)$. D'où le tableau des variations de la fonction f

      x	0		6		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$7{\mathrm{e}}^{-4}$		${\mathrm{e}}^2$		$-\infty$

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2. 1. Soit h la fonction définie sur $\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}$.

      Le tableau de variations de la fonction h est donné ci dessous :

      x	$-\infty$			−1					$+\infty$
      $h\prime \left(x\right)$		−				−
      $h\left(x\right)$		1		$-\infty$		$+\infty$		1

      Déterminer, en le justifiant, le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$

      La fonction ln est définie et strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Par conséquent, la fonction $x⟼\ln \left(h\left(x\right)\right)$ a les mêmes variations que la fonction h sur tout intervalle où h est strictement positive.

      D'après son tableau de variations, sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ la fonction h est décroissante et pour tout réel x de cet intervalle, $h\left(x\right)>1$

      Donc la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=2\ln \left(h\left(x\right)\right)$ est décroissante.

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   2. Déterminer la limite de la fonction g en $+\infty$. Quelle en est la conséquence graphique ?

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}=1$ et $\underset{X\to 1}{\lim }\ln \left(X\right)=0$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left({\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}\right)=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2\ln \left({\displaystyle \frac{x+5}{x+1}}\right)=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.

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3. Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ ci-dessous.

   1. Laquelle de ces deux fonctions est représentée par la courbe $C_1$ ?

      La courbe $C_1$ est la seule des deux courbes qui représente une fonction ayant les mêmes variations que la fonction f.

      $C_1$ est la courbe représentative de la fonction f.

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   2. Déterminer graphiquement une valeur approchée arrondie à l'unité des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Graphiquement, les solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $C_1$ et $C_2$

      Graphiquement, les valeurs approchée arrondies à l'unité des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sont 3 et 7.

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   3. Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.
      Le professeur a demandé à Perrine et Elliot de calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Voici des extraits de leurs productions :
      Production de Perrine :
      Une primitive de f est F telle que $F\left(x\right)=\left(8-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$, donc ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=5{\mathrm{e}}^{-1}-8{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{1,69}$.
      Production d'Elliot :
      Une primitive de f est F telle que $F\left(x\right)=\left(7x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\right){\mathrm{e}}^{x-4}$, donc ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{16,5}{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{6,07}$.
      Lors de la correction, le professeur indique que l'un des deux s'est trompé. Est-ce Perrine ou Elliot ? Justifier le choix.

      • méthode graphique

        Sur l'intervalle $\left[0;3\right]$, la fonction f est continue et positive par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est la mesure en unité d'aire du domaine hachuré S compris entre la courbe $C_1$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=3$.

        Or sur l'intervalle $\left[0;3\right]$, la fonction f est croissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;3\right]$, $f\left(x\right)⩽f\left(3\right)$. Par conséquent, l'aire du domaine S est inférieure à l'aire du rectangle de côtés 3 et $f\left(3\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(3\right)\mathrm{d}x}& \iff & {\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽3\times f\left(3\right)\\ & \text{d'où}& {\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽3\times \left(4{\mathrm{e}}^{-1}\right)<\mathrm{4,5}\end{array}$$

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        Elliot s'est trompé

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      • méthode numérique

        Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$$

        Vérifions la solution proposée par Perrine :

        La dérivée de la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(8-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}$ est la fonction $F\prime$ telle que : $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{x-4}+\left(8-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}& \iff & F\prime \left(x\right)=\left(7-x\right){\mathrm{e}}^{x-4}\end{array}$$

        Par conséquent, F est une primitive de f, donc $${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(3\right)-F\left(0\right)=5{\mathrm{e}}^{-1}-8{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{1,69}$$

        Perrine a raison donc Elliot s'est trompé.

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partie b : Application économique

Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, la fonction f modélise la fonction d'offre des producteurs d'un certain produit et la fonction g modélise la fonction de demande des consommateurs pour ce même produit. La quantité x est exprimée en millier de tonnes et le prix $f\left(x\right)$ ou $g\left(x\right)$ est en euro par kg.
On rappelle que le prix d'équilibre est le prix qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre.

Par lecture graphique, donner une valeur approchée de la quantité d'équilibre $x_0$, ainsi qu'une valeur approchée du prix d'équilibre $y_0$.

D'après la question 3.b, la valeur approchée arrondie à l'unité de la solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ comprise dans l'intervalle $\left[0;5\right]$ est 3. La valeur approchée de $f\left(3\right)$ est 1,5

Le prix d'équilibre est de 1,5 euro par kg pour une production d'environ 3000 tonnes.

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