Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du marché des capteurs solaires installés en France métropolitaine entre 2000 et 2007.

Source : ENERPLAN (*Association professionnelle de l'énergie solaire*)
année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année $x_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$	0	1	2	3	4	5	6	7
Surface de capteurs solaires installés en milliers de m² : $y_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$	6	18	23	39	52	121	220	253

L'objectif gouvernemental est d'atteindre un marché d'un million de m² en 2010.

1. Calculer le pourcentage d'augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 2006 et 2007.
  Le taux t du pourcentage d'augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 2006 et 2007 est : $t = \frac{253 - 220}{220} \times 100 = 15$
  De 2006 à 2007, la surface des capteurs solaires installés a augmenté de 15%.
2. Si ce pourcentage reste le même d'année en année jusqu'en 2010, l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ?
  Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 15% est 1,15. Par conséquent, le coefficient multiplicateur associé à trois augmentations successives de 15% est ${1,15}^{3}$
  Avec une augmentation de 15% par an, en 2010, la surface des capteurs solaires installés sera de : $253 \times {1,15}^{3} \approx 384,8$
  Avec une augmentation de 15% par an, l'objectif gouvernemental d'un marché d'un million de m² en 2010 ne sera pas atteint.
1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ ; $1 ⩽ i ⩽ 8$ , dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2 cm pour une année en abscisse et en ordonnée 1 cm pour 20 milliers de m² de capteurs solaires installés).
  La forme du nuage suggère de faire un ajustement exponentiel. Pour cela on pose $z_{i} = \ln (y_{i})$
2. Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant où les valeurs $z_{i}$ seront arrondies au centième.
  Rang de l'année $x_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$ 0 1 2 3 4 5 6 7
  $z_{i} = \ln (y_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$ 1,79 2,89 3,14 3,66 3,95 4,8 5,39 5,53
3. En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au centième.
  Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z = 0,52 x + 2,06$ (coefficients arrondis arrondis au centième).
4. On suppose que l'évolution se poursuit de cette façon jusqu'en 2010. À l'aide de cet ajustement exponentiel, estimer en m² la surface de capteurs solaires installés en 2010.
  Si l'évolution se poursuit selon ce modèle, l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ?
  Le rang de l'année 2010 est 10 d'où $\begin{array}{l} \ln (y_{11}) = 0,52 \times 10 + 2,06 & \Leftrightarrow & \ln (y_{11}) = 7,26 \\ \Leftrightarrow & y_{11} = e^{7,26} \approx 1422 \end{array}$
  En supposant que l'ajustement exponentiel est valable, on peut estimer que la surface de capteurs solaires installés en 2010 sera de 1 422 milliers de m². L'objectif gouvernemental d'un marché d'un million de m² en 2010 sera atteint.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

Rang de l'année $x_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$	0	1	2	3	4	5	6	7
$z_{i} = \ln (y_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ 8$	1,79	2,89	3,14	3,66	3,95	4,8	5,39	5,53