Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x(1-lnx).
On appelle C la courbe représentative de la fonction f .

    1. Calculer les limites de la fonction f en + et en 0 (on rappelle que la limite en 0 de la fonction u définie sur l'intervalle ]0;+[ par u(x)=xlnx est 0).

    2. Déterminer f(x) pour x]0;+[ (où f est la fonction dérivée de f ).

    3. Étudier le signe def(x) pour x]0;+[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.

  1. Résoudre sur ]0;+[ l'équation f(x)=0. En déduire que la courbe C admet un unique point d'intersection A avec l'axe des abscisses et donner les coordonnées du point A.

    1. Résoudre, par un calcul, l'inéquation f(x)0 dans l'intervalle ]0;+[.
      Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

    2. Montrer que la fonction F définie sur ]0;+[ par F(x)=x2(32-lnx) est une primitive de f sur ]0;+[.

      Dire que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ signifie que pour tout x]0;+[, F(x)=f(x).

    3. On désigne par D le domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Calculer en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de D puis, en donner une valeur approchée à 10−2 près.


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