Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0} = 8$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,85 u_{n} + 1,8$ .

Sur une feuille de papier millimétré construire un repère orthonormé (unité 1 cm), où l'axe des ordonnées est placé à gauche de la feuille.
1. Dans ce repère, tracer les droites d'équations respectives $y = 0,85 x + 1,8$ et $y = x$ .
2. Dans ce repère, placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
  On laissera apparents les traits de construction.
3. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ .
  Graphiquement, si la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ quand n tend vers l'infini alors $ℓ$ est l'abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = 0,85 x + 1,8$ et $y = x$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - 12$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  définition :
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
2. Exprimer, pour tout entier naturel n, $v_{n}$ en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 12 - 4 \times {0,85}^{n}$ .
  Si $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n, $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ .
3. Donner le sens de variation de la suite $(v_{n})$ . En déduire celui de la suite $(u_{n})$ .
4. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté que :
− il y a 1 800 nouveaux abonnés chaque année ;
− d'une année sur l'autre, 15 % des abonnés ne se réabonnent pas.
En 2008, il y avait 8 000 abonnés.
1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'abonnés en (2008 + n).
2. En utilisant la question 2. b., calculer une estimation du nombre d'abonnés en 2014.

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