sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x\left(1-\ln x\right)$. On appelle C la courbe représentative de la fonction f .

1. 1. Calculer les limites de la fonction f en $+\infty$ et en 0 (on rappelle que la limite en 0 de la fonction u définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x\ln x$ est 0).

      • Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$2x\left(1-\ln x\right)=2x-2x\ln x$$

        $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln x=0$ donc par somme, $\underset{x\to 0}{\lim }2x-2x\ln x=0$. Soit $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\ln x\right)=-\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x\left(1-\ln x\right)=-\infty$. Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   2. Déterminer $f\prime \left(x\right)$ pour $x\in \left]0;+\infty \right[$ (où $f\prime$ est la fonction dérivée de f ).

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ \text{et}& v\left(x\right)=1-\ln x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

      Alors $f=u\times v$ et $f\prime =u\prime \times v+u\times v\prime$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& 2\left(1-\ln x\right)+2x\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 2-2\ln x-2\hfill \\ & =& -2\ln x\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-2\ln x$.

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   3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ pour $x\in \left]0;+\infty \right[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      $$\begin{array}{ccc}-2\ln x⩽0& \iff & \ln x⩾0\\ & \iff & x⩾1\end{array}$$

      D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      x		0			1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			0		2		$-\infty$

      Calcul du maximum :$$f\left(1\right)=2\times 1\times \left(1-\ln 1\right)=2$$

2. Résoudre sur $\left]0;+\infty \right[$ l'équation $f\left(x\right)=0$. En déduire que la courbe C admet un unique point d'intersection A avec l'axe des abscisses et donner les coordonnées du point A.

   $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & \{\begin{array}{c}2x\left(1-\ln x\right)=0\\ x>0\end{array}\\ & \text{Soit}& 1-\ln x=0\iff x=\mathrm{e}\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x=\mathrm{e}$ donc la courbe C admet un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses $A\left(\mathrm{e};0\right)$

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3. 1. Résoudre, par un calcul, l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
      Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

      $x\in \left]0;+\infty \right[$ alors le produit $2x\left(1-\ln x\right)$ est du même signe que $1-\ln x$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Or pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}1-\ln x<0& \iff & \ln x>1\\ & \iff & x>\mathrm{e}\end{array}$$

      D'où le tableau établissant le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      x		0			e		$+\infty$
      $f\left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      Les points de la courbe C dont l'abscisse $x\in \left]0;\mathrm{e}\right[$ sont situés au dessus de l'axe des abscisses. Les points de la courbe C dont l'abscisse $x\in \left]\mathrm{e};+\infty \right[$ sont situés au dessous de l'axe des abscisses

      ---

   2. Montrer que la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x^2\left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln x\right)$ est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=x^2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x\\ \text{et}& v\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

      Alors $F=u\times v$ et $F\prime =u\prime \times v+u\times v\prime$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& 2x\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln x\right)+x^2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 3x-2x\ln x-x\hfill \\ & =& 2x-2x\ln x\hfill \\ & =& 2x\left(1-\ln x\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x^2\left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln x\right)$ est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

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   3. On désigne par D le domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$.

      Calculer en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de D puis, en donner une valeur approchée à 10⁻² près.

      f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc f est continue sur cet intervalle. D'autre part, la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. : l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$ est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)\hfill \\ & =& \left({\mathrm{e}}^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \mathrm{e}\right)\right)-\left(1^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln 1\right)\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine colorié du domaine D est égale à ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}$ unités d'aire. Soit arrondie à 10⁻² près 2,19 unités d'aire.

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