Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0} = 8$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,85 u_{n} + 1,8$ .

Sur une feuille de papier millimétré construire un repère orthonormé (unité 1 cm), où l'axe des ordonnées est placé à gauche de la feuille.
1. Dans ce repère, tracer les droites d'équations respectives $y = 0,85 x + 1,8$ et $y = x$ .
2. Dans ce repère, placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
  On laissera apparents les traits de construction.
3. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ .
  Si la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ quand n tend vers l'infini alors $ℓ$ est solution de l'équation : $\begin{matrix} ℓ = 0,85 \times ℓ + 1,8 & \Leftrightarrow & ℓ = 12 \end{matrix}$
  Graphiquement, cela signifie que si la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ quand n tend vers l'infini alors $ℓ$ est l'abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = 0,85 x + 1,8$ et $y = x$ .
  La suite $(u_{n})$ semble converger vers 12.
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - 12$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 12 \\ = & (0,85 u_{n} + 1,8) - 12 \\ = & 0,85 u_{n} - 10,2 \\ = & 0,85 (u_{n} - 12) \\ = & 0,85 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,85 v_{n}$ . Donc la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85.
  Le terme initial de la suite $(v_{n})$ est : $\begin{matrix} v_{0} = u_{0} - 12 & Soit & v_{0} = 8 - 12 = - 4 \end{matrix}$
  La suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $v_{0} = - 4$
2. Exprimer, pour tout entier naturel n, $v_{n}$ en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 12 - 4 \times {0,85}^{n}$ .
  La suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $v_{0} = - 4$ , alors pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 4 \times {0,85}^{n}$ .
  Or pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 12$ . D'où pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} - 4 \times {0,85}^{n} = u_{n} - 12 & \Leftrightarrow & u_{n} = 12 - 4 \times {0,85}^{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 12 - 4 \times {0,85}^{n}$ .
3. Donner le sens de variation de la suite $(v_{n})$ . En déduire celui de la suite $(u_{n})$ .
  - Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{l} v_{n + 1} - v_{n} & = & (- 4 \times {0,85}^{n + 1}) - (- 4 \times {0,85}^{n}) \\ = & (- 4 \times {0,85}^{n} \times 0,85) - (- 4 \times {0,85}^{n}) \\ = & - 4 \times {0,85}^{n} \times (0,85 - 1) \\ = & 0,6 \times {0,85}^{n} \end{array}$
    Or pour tout réel x, ${0,85}^{x} > 0$ d'où :
    Pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} - v_{n} > 0$ donc la suite $(v_{n})$ est strictement croissante.
  - La fonction affine f définie pour tout réel x par $f (x) = x + 12$ est strictement croissante. Donc la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = f (v_{n})$ a le même sens de variation que la suite $(v_{n})$ .
    La suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
  $0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{x \to + \infty} {0,85}^{x} = 0$ d'où $\lim_{x \to + \infty} 12 - 4 \times {0,85}^{x} = 12$
  $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 12$ alors la suite $(u_{n})$ converge vers 12.
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− il y a 1 800 nouveaux abonnés chaque année ;
− d'une année sur l'autre, 15 % des abonnés ne se réabonnent pas.
En 2008, il y avait 8 000 abonnés.
1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'abonnés en (2008 + n).
  D'une année sur l'autre, 15 % des abonnés ne se réabonnent pas donc d'une année sur l'autre, 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
  Soit $u_{n}$ le nombre de milliers d'abonnés en (2008 + n) nous avons : $\begin{matrix} u_{0} = 8 & et pour tout entier naturel n & u_{n + 1} = 0,85 u_{n} + 1,8 \end{matrix}$
  Ainsi, la situation est modélisée par la suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'abonnés en (2008 + n).
2. En utilisant la question 2. b., calculer une estimation du nombre d'abonnés en 2014.
  Le rang n de l'année 2014 est 6 et $u_{6} = 12 - 4 \times {0,85}^{6} \approx 10,49$
  En 2014, il y aura environ 10 500 abonnés.

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