sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Déterminer $p\left(\mathrm{C}\right)$, $p\left(\mathrm{E}\right)$, $p_{\mathrm{D}}\left(\overline{\mathrm{P}}\right)$ et $p_{\mathrm{E}}\left(\mathrm{P}\right)$.

      • 48 % des souris sont entraînées par Claude, 16 % par Dominique et les autres par Éric d'où :$$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{C}\right)=\mathrm{0,48}& p\left(\mathrm{D}\right)=\mathrm{0,16}& p\left(\mathrm{E}\right)=1-p\left(\mathrm{C}\right)-p\left(\mathrm{D}\right)=\mathrm{0,36}\end{array}$$

      • 20 % des souris de Dominique ne sont pas encore performantes d'où $p_{\mathrm{D}}\left(\overline{\mathrm{P}}\right)=\mathrm{0,2}$

      • Parmi les souris d'Éric, deux sur trois sont performantes d'où $p_{\mathrm{E}}\left(\mathrm{P}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

   2. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

      L'arbre est complété à l'aide de la règle des nœuds :Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement « la souris est entraînée par Claude et est performante ».

   $$\begin{array}{cc}& p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{P}\right)=p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{P}\right)\times p\left(\mathrm{C}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{P}\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,48}=\mathrm{0,288}\end{array}$$

   La probabilité de l'évènement « la souris est entraînée par Claude et est performante » est égale à 0,288.

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3. Démontrer que la probabilité pour une souris d'être performante est de 0,656.

   Nous avons : $$\begin{array}{llll}& p\left(\mathrm{D}\cap \mathrm{P}\right)=p_{\mathrm{D}}\left(\mathrm{P}\right)\times p\left(\mathrm{D}\right)& \text{et}& p\left(\mathrm{E}\cap \mathrm{P}\right)=p_{\mathrm{E}}\left(\mathrm{P}\right)\times p\left(\mathrm{E}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{D}\cap \mathrm{P}\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,16}=\mathrm{0,128}& & p\left(\mathrm{E}\cap \mathrm{P}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,36}=\mathrm{0,24}\end{array}$$

   Les évènements C, D et E déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ll}& p\left(\mathrm{P}\right)=p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{P}\right)+p\left(\mathrm{D}\cap \mathrm{P}\right)+p\left(\mathrm{E}\cap \mathrm{P}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{P}\right)=\mathrm{0,288}+\mathrm{0,128}+\mathrm{0,24}=\mathrm{0,656}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité pour une souris d'être performante est égale à 0,656.

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   Pour les questions suivantes, on arrondira les résultats au millième.

4. On choisit au hasard une souris parmi celles qui sont performantes. Quelle est la probabilité que cette souris soit entraînée par Dominique ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{D}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{D}\cap \mathrm{P}\right)}{p\left(\mathrm{P}\right)}}& \text{Soit}& p_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{D}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,128}}{\mathrm{0,656}}}\approx \mathrm{0,195}\end{array}$$

   Parmi les souris performantes, la probabilité de choisir une souris entraînée par Dominique est égale à 0,195.

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5. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte.
   On choisit maintenant au hasard quatre souris de cette « école ». On assimile ce choix à un tirage avec remise.
   Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une souris performante ?

   Choisir au hasard quatre souris de cette « école » est assimilé à quatre tirages successifs avec remise. Par conséquent, ce choix est modélisé par la répétition de quatre expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès est 0,656. La loi de probabilité associée au nombre de souris performantes est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,656.

   «Obtenir au moins une souris performante » est l'évènement contraire de l'évènement « les quatre souris ne sont pas performantes ».

   Or la probabilité de choisir une souris qui n'est pas performante est : $$p\left(\overline{\mathrm{P}}\right)=1-\mathrm{0,656}=\mathrm{0,344}$$

   Donc la probabilité de l'évènement A « Obtenir au moins une souris performante » est :$$p\left(A\right)=1-{\mathrm{0,344}}^4\approx \mathrm{0,986}$$

   Arrondie au millième, la probabilité d'obtenir au moins une souris performante est égale à 0,986.

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