sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On se propose d'étudier l'évolution des productions d'électricité d'origines hydraulique et éolienne depuis 1999.

partie a : Production d'électricité d'origine hydraulique

1. Représenter, dans le plan muni d'un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ définie ci-dessus.
   On utilisera une feuille de papier millimétré et on choisira comme unités graphiques 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5 cm pour 10 000 GWh sur l'axe des ordonnées. On débutera la graduation sur l'axe des ordonnées à 50 000.

2. L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.

   1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation $y=mx+p$ de la droite d d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients m et p seront arrondis au dixième.

      Les coordonnées du point moyen G sont $G\left(\mathrm{2,8};64911\right)$
      Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=-\mathrm{2416,1}x+\mathrm{71676,2}$ (Coefficients arrondis arrondis au dixième)

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   2. Placer le point G et tracer la droite d sur le graphique précédent.

      La droite d passe par les points de coordonnées $\left(0;\mathrm{71676,2}\right)$ et le point moyen $G\left(\mathrm{2,8};64911\right)$.

partie b : Production d'électricité d'origine éolienne

1. Ces données sont représentées par le nuage de points ci-après :

   On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
   L'allure du nuage suggère de rechercher un ajustement exponentiel de y en x. Pour cela on pose pour tout entier naturel i compris entre 0 et 5 : $z_i=\ln \left({\displaystyle \frac{y_i}{100}}\right)$
   Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant :

      Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5
      Puissance  installée en MWh  $y_i$	1,9	3,3	5,5	9,4	35,5	104,5
      $z_i=\ln \left({\displaystyle \frac{y_i}{100}}\right)$	− 3,96	− 3,41	− 2,9	− 2,36	− 1,04	0,04

   2. Déterminer une équation de la droite d ' d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,79}x-\mathrm{4,25}$ (coefficients arrondis au centième)

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   3. Sachant que $z=\ln \left({\displaystyle \frac{y}{100}}\right)$, déterminer l'expression de y sous la forme $k{\mathrm{e}}^{ax}$ où k et a sont des nombres réels à calculer.

      Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln \left({\displaystyle \frac{y}{100}}\right)\iff {\displaystyle \frac{y}{100}}=\exp z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y=100{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,79}x-\mathrm{4,25}}& \iff & y=100{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4,25}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,79}x}\end{array}$$

      Or l'arrondi au centième de $100{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4,25}}$ est 1,43.

      Une estimation de la production d'électricité d'origine éolienne en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{1,43}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,79}x}$.

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2. On suppose que l'évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle précédent.
   Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l'année 2010.

   Le rang de l'année 2010 est 7 et $$\mathrm{1,43}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,79}\times 7}\approx \mathrm{360,57}$$

   Avec ce modèle, la puissance installée prévue pour l'année 2010 est de 360,57 MWh.

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