sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de f sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ en observant cette courbe ?

   Avec la précision permise par la représentation graphique, la fonction f semble être décroissante.

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   Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et vérifier que $f\prime \left(x\right)=xg\left(x\right)$ où $g\left(x\right)=1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ pour tout x de $ℝ$.

   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x^2{\mathrm{e}}^{x-1}$. Sur $ℝ$, la fonction $x⟼x^2{\mathrm{e}}^{x-1}$ est de la forme $uv$, sa dérivée est de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & ;& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill & ;& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$$ D'où $$\begin{array}{ccccc}u\prime \left(x\right)\times v\left(x\right)+u\left(x\right)\times v\prime \left(x\right)& =& 2x{\mathrm{e}}^{x-1}+x^2{\mathrm{e}}^{x-1}& =& x\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}\end{array}$$

   La dérivée de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x par $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& x-x\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}& =& x\left(1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}\right)\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=x\left(1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}\right)$

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   Pour la suite, on admet que g est dérivable sur $ℝ$ et on note $g\prime$ sa fonction dérivée.

3. Étude du signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

   1. Calculer les limites respectives de $g\left(x\right)$ quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ . On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité $g\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}}$.

      g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ et pour tout réel x, $$1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}=1-{\displaystyle \frac{\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}}=1-{\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}}$$

      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ d'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}}=1$

      • Par produit des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}=-\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

      ---

   2. Calculer $g\prime \left(x\right)$ et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

      Pour tout réel x, $g\left(x\right)=1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ d'où $g=1-uv$ et $g\prime =-\left(u\prime v+uv\prime \right)$ avec $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+2\hfill & ;& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill & ;& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$$ Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}g\prime \left(x\right)& =& -\left({\mathrm{e}}^{x-1}+\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}\right)& =& -\left(x+3\right){\mathrm{e}}^{x-1}\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\prime \left(x\right)=-\left(x+3\right){\mathrm{e}}^{x-1}$

      ---

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{x-1}>0$. Par conséquent, le signe de $g\prime \left(x\right)$ est l'opposé du signe de $x+3$. D'où le tableau établissant le signe de $g\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x :

      x	$-\infty$		− 3		$+\infty$
      Signe de $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	$-\infty$		− 3		$+\infty$
      Signe de $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variations de g	1		$1+{\mathrm{e}}^{-4}$		$-\infty$

      Le maximum de la fonction g est atteint pour $x=-3$ et :$$g\left(-3\right)=1-\left(-3+2\right){\mathrm{e}}^{-3-1}=1+{\mathrm{e}}^{-4}$$

   4. Montrer que l'équation $g\left(x\right)=0$ possède une unique solution dans $ℝ$. On note α cette solution. Justifier que $\mathrm{0,20}<\alpha <\mathrm{0,21}$.

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right]$, g est strictement croissante et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1$. Donc tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right]$, $g\left(x\right)>1$.
        Par conséquent, l'équation $g\left(x\right)=0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[-3;+\infty \right[$, la fonction g est dérivable donc continue, strictement décroissante à valeurs dans $\left]-\infty ;1+{\mathrm{e}}^{-4}\right]$.
        D'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique α sur l'intervalle $\left[-3;+\infty \right[$.

      D'autre part, $g\left(\mathrm{0,2}\right)=1-\mathrm{2,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{0,01}$ et $g\left(\mathrm{0,21}\right)=1-\mathrm{2,21}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,79}}\approx -\mathrm{0,003}$. Donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, $\mathrm{0,20}<\alpha <\mathrm{0,21}$

      Ainsi, l'équation $g\left(x\right)=0$ possède une unique solution α avec $\mathrm{0,20}<\alpha <\mathrm{0,21}$.

      ---

   5. Déterminer le signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      D'après les variations de la fonction g :

      • Si $x⩽-3$ alors ,$g\left(x\right)>1$

      • Sur l'intervalle $\left[-3;+\infty \right[$, la fonction g est strictement décroissante et $g\left(\alpha \right)=0$.

        Donc si $-3⩽x⩽\alpha$ alors $g\left(x\right)⩾0$ et si $x>\alpha$ alors $g\left(x\right)<0$.

      D'où le tableau établissant le signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x :

      x	$-\infty$		α		$+\infty$
      Signe de $g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

4. Sens de variation de la fonction f

   1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      $f\prime \left(x\right)=xg\left(x\right)$ D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x :

      x	$-\infty$		0		α		$+\infty$
      Signe de x		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $g\left(x\right)$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   2. En déduire le sens de variation de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	$-\infty$		0		α		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variations de f

   3. Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ?

      La conjecture de la question 1 est fausse. Cette erreur est due à l'échelle de la représentation graphique.

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      Un autre choix de la fenêtre de la représentation graphique aurait permis de mieux distinguer variations de la fonction f dans l'intervalle $\left[-\mathrm{0,1};\mathrm{0,3}\right]$.

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