Baccalauréat novembre 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du sud

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On se propose d'étudier l'évolution des productions d'électricité d'origines hydraulique et éolienne depuis 1999.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a : Production d'électricité d'origine hydraulique

Le tableau suivant donne la production d'électricité d'origine hydraulique en France pour plusieurs années entre 2000 et 2005.

Année 20002002200320042005
Rang de l'année xi02345
Production en GWh yi71 59365 82664 47265 39357 271
  1. Représenter, dans le plan muni d'un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique xiyi définie ci-dessus.
    On utilisera une feuille de papier millimétré et on choisira comme unités graphiques 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5 cm pour 10 000 GWh sur l'axe des ordonnées. On débutera la graduation sur l'axe des ordonnées à 50 000.

  2. L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.

    1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation y=mx+p de la droite d d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients m et p seront arrondis au dixième.

    2. Placer le point G et tracer la droite d sur le graphique précédent.

partie b : Production d'électricité d'origine éolienne

Le tableau suivant donne la capacité de production d'électricité d'origine éolienne installée en France de 2003 à 2008.

Année 200320042005200620072008
Rang de l'année xi012345
Puissance  installée en MWh  yi1,93,35,59,435,5104,5
  1. Ces données sont représentées par le nuage de points ci-après :

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
    L'allure du nuage suggère de rechercher un ajustement exponentiel de y en x. Pour cela on pose pour tout entier naturel i compris entre 0 et 5 : zi=lnyi100
    Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant :

      Rang de l'année xi012345
      Puissance  installée en MWh  yi 1,9  3,3  5,5  9,4 35,5104,5
      zi=lnyi100      
    2. Déterminer une équation de la droite d ' d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés.

    3. Sachant que z=lny100, déterminer l'expression de y sous la forme keaxk et a sont des nombres réels à calculer.

  2. On suppose que l'évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle précédent.
    Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l'année 2010.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.

  1. f est la fonction définie sur l'intervalle -30 par fx=x2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle -30 est :

    • μ=4,5
    • μ=3
    • μ=13
    • μ=-3
  2. f est la fonction définie sur par fx=lnx2+x+1, f désigne sa fonction dérivée sur . Alors :

    • fx=1x2+x+1
    • fx=12x+1
    • fx=2x+1x2+x+1
    • fx=x2+x+12x+1
  3. La primitive F de la fonction f définie sur l'intervalle I=0+ par fx=2x2-x+3x telle que F1=1 vérifie :

    • Fx=23x3-12x2+3x12x2-173
    • Fx=x2-1+3lnx
    • Fx=x2-x+3lnx+1
    • Fx=2-3x2+1
  4. f est la fonction définie sur l'intervalle I=0+ par fx=5x, on note C sa courbe représentative dans un repère donné du plan. L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2 est égale à :

    • 5ln2
    • ln10-ln5
    • 3,466
    • ln25-ln15
  5. La limite de la fonction f définie sur l'intervalle I=0+ par fx=x2-x-lnx lorsque x tend vers + ∞ est :

    • − ∞
    • 0
    • e
    • + ∞

exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.

  1. Les points A123, B321 et C111 sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal Oıȷk . Le plan (ABC) est parallèle au plan P d'équation :

    • x+y-z=0
    • y=12
    • x+y+z-1=0
    • x-2y+z+3=0
  2. Soit un la suite définie sur par un=1+-12n1+n. Cette suite :

    • a pour limite 1n
    • a pour limite 0
    • a pour limite 1
    • n'a pas de limite
  3. Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le graphe ci-contre admet exactement n chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec :

    • n=1
    • n=3
    • n=5
    • n=8

  4. La suite vn définie sur par vn=4n+3n+1 :

    • n'est pas monotone
    • n'admet pas de limite
    • est croissante
    • est majorée par 0
  5. Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le graphe ci-contre a un nombre chromatique k égal à :

    • 2
    • 3
    • 4
    • 5


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on appellera motard tout conducteur d'une moto dont la cylindrée est supérieure à 50 cm3. Ces motards se décomposent en deux catégories :

La moto peut être de type sportive ou routière. On considère que :

On interroge au hasard un motard et on note :
A : l'évènement « le motard est de la catégorie A »,
B : l'évènement « le motard est de la catégorie B »,
S : l'évènement « la moto est de type sportive »,
R : l'évènement « la moto est de type routière ».

Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.

  1. Montrer que la probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à 0,196.

  2. 36,6 % des motos sont de type routière. Quelle est la probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A ?

  3. Quelle est la probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière ?

  4. On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction numérique f dénie et dérivable sur telle que, pour tout réel x, on ait fx=x22-x2ex-1 On note f sa fonction dérivée sur .
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de f  sur l'intervalle -32 en observant cette courbe ?

    Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

  2. Calculer fx et vérifier que fx=xgxgx=1-x+2ex-1 pour tout x de .

    Pour la suite, on admet que g est dérivable sur et on note g sa fonction dérivée.

  3. Étude du signe de gx suivant les valeurs de x.

    1. Calculer les limites respectives de gx quand x tend vers + ∞ et quand x tend vers − ∞ .
      On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité gx=1-xex+2exe.

    2. Calculer gx et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

    3. En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment.

    4. Montrer que l'équation gx=0 possède une unique solution dans . On note α cette solution. Justifier que 0,20<α<0,21.

    5. Déterminer le signe de gx suivant les valeurs de x.

  4. Sens de variation de la fonction f

    1. Étudier le signe de fx suivant les valeurs de x.

    2. En déduire le sens de variation de la fonction f.

    3. Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ?



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✉ A.Yallouz

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