Dans cet exercice, on appellera motard tout conducteur d'une moto dont la cylindrée est supérieure à 50 cm3. Ces motards se décomposent en deux catégories :
La moto peut être de type sportive ou routière. On considère que :
On interroge au hasard un motard et on note :
A : l'évènement « le motard est de la catégorie A »,
B : l'évènement « le motard est de la catégorie B »,
S : l'évènement « la moto est de type sportive »,
R : l'évènement « la moto est de type routière ».
Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.
Nous avons :
La catégorie A représentent 44 % de l'ensemble des motards d'où et
65 % de ceux de la catégorie B possèdent une moto de type sportive d'où et .
Nous pouvons établir l'arbre de probabilité traduisant la situation
Montrer que la probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à 0,196.
Soit
La probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à 0,196.
36,6 % des motos sont de type routière. Quelle est la probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A ?
36,6 % des motos sont de type routière d'où or soit
Or soit . D'où :
La probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A est égale à 0,27.
Quelle est la probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière ?
Soit
La probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière est égale à 0,536.
On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B ?
On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards donc la loi de probabilité associée au nombre de motards de la catégorie B est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,56.
« au moins un de ces trois motards est dans la catégorie B » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois motards sont dans la catégorie A ».
Donc la probabilité qu'au moins un des trois motards soit de la catégorie B est :
La probabilité qu'au moins un des trois motards soit de la catégorie B est 0,915.
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