sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

---

1. Les points $A\left(1;2;3\right)$, $B\left(3;2;1\right)$ et $C\left(1;1;1\right)$ sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ . Le plan (ABC) est parallèle au plan P d'équation :

   Cherchons une équation cartésienne du plan (ABC) :

   Le plan (ABC) est l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace tels les points A, B, C et M sont coplanaires. C'est à dire, qu'il existe deux réels a et b tels que $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$. Avec $\overrightarrow{AM}\left(x-1;y-2;z-3\right)$, $\overrightarrow{AB}\left(2;0;-2\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(0;-1;-2\right)$ . D'où les coordonnées du point $M\left(x;y;z\right)$ vérifient le système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rrr}x-1& =& 2a\hfill \\ y-2& =& -b\hfill \\ z-3& =& -2a-2b\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}x-1& =& 2a\hfill \\ y-2& =& -b\hfill \\ z-3& =& -x+1+2y-4\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}x-1& =& 2a\hfill \\ y-2& =& -b\hfill \\ x-2y+z& =& 0\hfill \end{array}\end{array}$$

   Une équation du plan (ABC) est $x-2y+z=0$ donc le plan (ABC) est parallèle au plan P d'équation $x-2y+z+3=0$.

   ---

   $x+y-z=0$

   $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   $x+y+z-1=0$

   $x-2y+z+3=0$

2. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n={\displaystyle \frac{1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{1+n}}$. Cette suite :

   • Si n est un entier pair, $$1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }1+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}=1$

   • Si n est un entier impair, $$1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}=1$

   Ainsi, $\underset{n\to +\infty }{\lim }1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1$ et par quotient $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{1+n}}=0$

   a pour limite ${\displaystyle \frac{1}{n}}$

   a pour limite 0

   a pour limite 1

   n'a pas de limite

3. Le graphe ci-dessous admet exactement n chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec :

   La matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant classés dans l'ordre alphabétique, est $M=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$ et $M^4=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 4\\ 1& 2& 0& 3\\ 3& 1& 2& 4\\ 3& 3& 1& 6\end{array}\right)$

   Le nombre de chaînes de longueur 4 allant de A vers B est égal au terme $a_{12}$ situé à l'intersection de la 1^re ligne et de la 2^e colonne de la matrice $M^4$. Il y a donc une seule chaîne de longueur 4 allant de A vers B.

   $n=1$

   $n=3$

   $n=5$

   $n=8$

4. La suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n={\displaystyle \frac{4n+3}{n+1}}$ :

   Nous avons :

   • $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4n+3}{n+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4n}{n}}=4$

   • $v_0=3$ donc la suite $\left(v_n\right)$ n'est pas majorée par 0

   Étudions la monotonie de la suite $\left(v_n\right)$

   Pour tout entier n$$\begin{array}{ccc}{v}_{n+1}-v_n& =& {\displaystyle \frac{4\left(n+1\right)+3}{n+2}}-{\displaystyle \frac{4n+3}{n+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4n+7\right)\left(n+1\right)-\left(4n+3\right)\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}\hfill \end{array}$$

   Or pour tout entier n, ${\displaystyle \frac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}>0$

   Ainsi, pour tout entier n, $v_{n+1}-v_n>0$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.

   n'est pas monotone

   n'admet pas de limite

   est croissante

   est majorée par 0

5. Le graphe ci-dessous a un nombre chromatique k égal à :

   A-B-C est un sous graphe complet d'ordre 3 donc le nombre chromatique de ce graphe $k⩾3$
   Or une coloration de ce graphe à l'aide de trois couleurs est possible donc $k=3$

   2

   3

   4

   5

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.