sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.

1. Les points $A\left(1;2;3\right)$, $B\left(3;2;1\right)$ et $C\left(1;1;1\right)$ sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ . Le plan (ABC) est parallèle au plan P d'équation :

   $x+y-z=0$

   $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   $x+y+z-1=0$

   $x-2y+z+3=0$

   On peut déterminer une équation du plan (ABC) ou bien constater que les coordonnées des points A, B et C vérifient une des équations $$\begin{array}{ccccccc}x+y-z=d& ;& y=d& ;& x+y+z=d& ;& x-2y+z=d\end{array}$$

2. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n={\displaystyle \frac{1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{1+n}}$. Cette suite :

   a pour limite ${\displaystyle \frac{1}{n}}$

   a pour limite 0

   a pour limite 1

   n'a pas de limite

   Si n est un entier pair alors, $1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$. Si n est un entier impair alors, $1+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

3. Le graphe ci-contre admet exactement n chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec :

   • $n=1$
   • $n=3$
   • $n=5$
   • $n=8$

   ---

   Soit M la matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant classés dans l'ordre alphabétique.
   Le nombre de chaînes de longueur 4 allant de A vers B est égal au terme $a_{12}$ situé à l'intersection de la 1^re ligne et de la 2^e colonne de la matrice $M^4$.

4. La suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n={\displaystyle \frac{4n+3}{n+1}}$ :

   n'est pas monotone

   n'admet pas de limite

   est croissante

   est majorée par 0

   Étudier la monotonie de la suite $\left(v_n\right)$

5. Le graphe ci-contre a un nombre chromatique k égal à :

   • 2
   • 3
   • 4
   • 5

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