sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction numérique f définie et dérivable sur $ℝ$ telle que, pour tout réel x, on ait $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x^2{\mathrm{e}}^{x-1}$ On note $f\prime$ sa fonction dérivée sur $ℝ$.
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de f  sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ en observant cette courbe ?

   Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et vérifier que $f\prime \left(x\right)=xg\left(x\right)$ où $g\left(x\right)=1-\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ pour tout x de $ℝ$.

   Pour la suite, on admet que g est dérivable sur $ℝ$ et on note $g\prime$ sa fonction dérivée.

3. Étude du signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

   1. Calculer les limites respectives de $g\left(x\right)$ quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ .
      On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité $g\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}}$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$

   2. Calculer $g\prime \left(x\right)$ et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

   3. En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment.

   4. Montrer que l'équation $g\left(x\right)=0$ possède une unique solution dans $ℝ$. On note α cette solution. Justifier que $\mathrm{0,20}<\alpha <\mathrm{0,21}$.

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   5. Déterminer le signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      Sur l'intervalle $\left[-3;+\infty \right[$, la fonction g est strictement décroissante et $g\left(\alpha \right)=0$. Donc si $x>\alpha$ alors $g\left(x\right)<0$.

4. Sens de variation de la fonction f

   1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      Étudier le signe du produit $x\times g\left(x\right)$

   2. En déduire le sens de variation de la fonction f.

   3. Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ?

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