sujet : Asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal.
   sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour une unité ;
   sur l'axe des ordonnées, on placera 6 200 à l'origine et on choisira 1 cm pour 200 millions d'euros

2. Un premier groupe de statisticiens réalise un ajustement affine du nuage.
   Donner une équation de la droite (d) de régression de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'entier le plus proche. Tracer la droite (d) dans le repère précédent.

   Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=297x+6870$ (coefficients arrondis à l'unité)

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   La droite (d) passe par les points de coordonnées $\left(0;6870\right)$ et $\left(6;8652\right)$

3. Un deuxième groupe de statisticiens réalise un ajustement non affine du nuage, en utilisant la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=6400+1100\ln \left(1+x\right)$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.

   1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer :

      • les variations de la fonction f ;
      • la limite de la fonction f quand x tend vers $+\infty$.

      D'après la représentation graphique obtenue à la calculatrice, il semblerait que f est croissante et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

   2. Valider par une démonstration l'une des deux conjectures précédentes.

      • variations de la fonction  f

        On peut étudier les variations de la fonction f à partir des variations des fonctions composées ou bien à partir du signe de sa dérivée.

        Soient u et v les fonctions affines définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x+1$ et $v\left(x\right)=1100x+6400$. Alors, $f=v\left[\ln \left(u\right)\right]$.

        f est une fonction croissante comme composée de trois fonctions croissantes.

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        La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1100}{1+x}}$$ Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{1100}{1+x}}>0$

        Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc f est une fonction croissante.

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      • limite en $+\infty$

        $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+x=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln \left(X\right)=+\infty$ alors par composition , $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(1+x\right)=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }6400+1100\ln \left(1+x\right)=+\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   3. Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans le repère précédent.

4. Est-il raisonnable de penser que la dépense annuelle des ménages français en fruits puisse dépasser 9 200 millions d'euros ? Argumenter la réponse.

   • avec l'ajustement affine

     Le rang de l'année où on peut estimer que la dépense annuelle des ménages français en fruits dépassera 9 200 millions d'euros est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}297n+6870>9200& \iff & n>{\displaystyle \frac{9200-6870}{297}}\hfill \\ & \text{Soit}& n>8\hfill \end{array}$$

     Avec l'ajustement affine, on peut estimer que la dépense annuelle des ménages français en fruits dépassera 9 200 millions d'euros en 2008.

   • avec le deuxième ajustement

     Le rang de l'année où on peut estimer que la dépense annuelle des ménages français en fruits dépassera 9 200 millions d'euros est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}6400+1100\ln \left(1+n\right)>9200& \iff & \ln \left(1+n\right)>{\displaystyle \frac{9200-6400}{1100}}\hfill \\ & \iff & 1+n>{\mathrm{e}}^{\frac{28}{11}}\hfill \\ & \iff & n>{\mathrm{e}}^{\frac{28}{11}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& n>12\hfill \end{array}$$

     Avec le deuxième ajustement proposé, on peut estimer que la dépense annuelle des ménages français en fruits dépassera 9 200 millions d'euros en 2012.

   Avec les deux ajustements, on obtient une prévision à court terme, il semble raisonnable de penser que la dépense annuelle des ménages français en fruits puisse dépasser 9 200 millions d'euros.
   Toutefois cette estimation doit être validée par une étude de l'évolution de la part de la dépense annuelle des ménages français en fruits dans les revenus des ménages français.

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