sujet : Asie

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Kevin possède un lecteur MP3, dans lequel il a stocké 90 morceaux de jazz et 110 morceaux de musique classique. Un tiers des 90 morceaux de jazz est composé par des auteurs français. Un dixième des 110 morceaux de musique classique est composé par des auteurs français.

1. Afin d'écouter un morceau de musique, Kevin lance une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. On admet que cela revient à choisir un morceau de musique de manière équiprobable. On note :
   J l'évènement « le morceau de musique écouté est un morceau de jazz » ;
   C  l'évènement « le morceau de musique écouté est un morceau de musique classique » ;
   F l'évènement « l'auteur du morceau de musique écouté est français ».

   1. Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz ?

      Dans le lecteur MP3, sont stockés 90 morceaux de jazz et 110 morceaux de musique classique soit 200 morceaux de musique. D'où $$p\left(J\right)={\displaystyle \frac{90}{200}}=\mathrm{0,45}$$

      La probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz est égale à 0,45.

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   2. Sachant que Kevin a écouté un morceau de jazz, quelle est la probabilité que l'auteur soit français ?

      Un tiers des 90 morceaux de jazz est composé par des auteurs français. D'où $$p_J\left(F\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

      Sachant que Kevin a écouté un morceau de jazz, la probabilité que l'auteur soit français est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

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   3. Calculer la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz composé par un auteur français.

      $p\left(J\cap F\right)=p_J\left(F\right)\times p\left(J\right)$. Soit $$p\left(J\cap F\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,15}$$

      La probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz composé par un auteur français est égale à 0,15.

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   4. Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit composé par un auteur français ?

      Les évènements J et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(F\right)=p\left(J\cap F\right)+p\left(C\cap F\right)$$

      Or il y a 110 morceaux de musique classique d'où $p\left(C\right)=\mathrm{0,55}$.
      Un dixième des 110 morceaux de musique classique est composé par des auteurs français d'où $p_C\left(F\right)=\mathrm{0,1}$
      D'où $$p\left(C\cap F\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,55}=\mathrm{0,055}$$

      Donc $$p\left(F\right)=\mathrm{0,15}+\mathrm{0,055}=\mathrm{0,205}$$

      Ainsi, la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit composé par un auteur français est égale à 0,205.

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   remarque

   Le tableau suivant permet de répondre à toutes les questions précédentes.

   	auteurs français F	auteurs non français $\overline{F}$	Total
   Jazz J	30		90
   Classique C	11		110
   Total	41		200

   $p\left(J\right)={\displaystyle \frac{90}{200}}=\mathrm{0,45}$ ; $p\left(J\cap F\right)={\displaystyle \frac{30}{200}}=\mathrm{0,15}$ et $p\left(F\right)={\displaystyle \frac{11}{200}}=\mathrm{0,205}$

2. Afin d'écouter trois morceaux de musique, Kevin lance trois fois une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. Calculer la probabilité qu'il ait écouté au moins un morceau de jazz.

   Kevin lance trois fois une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. Par conséquent, la loi de probabilité associée au nombre de morceaux de jazz qu'il écoute est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,45.

   « au moins un de ces trois morceaux est du jazz » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois morceaux sont de musique classique ».

   Donc la probabilité qu'il écoute au moins un morceau de jazz est : $$p=1-{\mathrm{0,55}}^3\approx \mathrm{0,834}$$

   La probabilité que Kevin écoute au moins un morceau de jazz est arrondie au millième 0,834.

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