Suite à une étude de marché :
¯ l'offre d'un produit est modélisée par une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ;
¯ la demande de ce même produit est modélisée par une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle
Les courbes représentatives et de ces fonctions sont dessinées sur l'annexe (à rendre avec la copie). On désigne par x la quantité du produit exprimée en milliers d'unités, avec x appartenant à l'intervalle . Les nombres et sont des prix unitaires exprimés en centaines d'euros. L'expression de la fonction f est donnée par .
On rappelle que le prix d'équilibre est le prix unitaire qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre.
Lire sur le graphique le prix d'équilibre (en centaines d'euros) et la quantité d'équilibre (en milliers d'unités).
Graphiquement, le prix d'équilibre et la quantité d'équilibre sont les coordonnées du point d'intersection des deux courbes et .
Avec la précision permise par le graphique, le prix d'équilibre est de 300 euros et la quantité d'équilibre est de 5 000 unités.
Sur le graphique, il semblerait que le prix d'équilibre soit légèrement inférieur à 3 centaines d'euros. D'autre part, Par conséquent, la réponse suivante est valable
Le prix d'équilibre est de 296 euros et la quantité d'équilibre est de 5 000 unités.
Estimer en euros le chiffre d'affaires réalisé par la vente de cette quantité au prix d'équilibre .
Le chiffre d'affaires réalisé par la vente de cette quantité au prix d'équilibre est
Le chiffre d'affaires réalisé par la vente de cette quantité au prix d'équilibre est de 1 500 000 euros. (ou 1 480 000 euros)
Mettre en évidence, sur le graphique joint en annexe, l'intégrale suivante : .
La courbe est au dessus de l'axe des abscisses, par conséquent, l'intégrale est égale à l'aire exprimée en unités d'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Calculer cette intégrale.
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par . D'où
Certains producteurs étaient disposés à proposer un prix inférieur au prix d'équilibre. Le gain supplémentaire réalisé par ces producteurs est appelé le surplus des producteurs. Le surplus des producteurs est donné par la formule suivante : Estimer ce surplus (en centaines de milliers d'euros).
Exprimé en centaines de milliers d'euros, le surplus des producteurs est :
Le surplus des producteurs est de 8,61 centaines de milliers d'euros. (ou 8,41 centaines de milliers d'euros)
Certains consommateurs étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre. L'économie réalisée par ces consommateurs est appelée le surplus des consommateurs. Ce surplus est représenté par la partie hachurée du graphique. Par une lecture graphique, Paul estime à moins de 10 unités d'aire cette partie, alors que Jeanne l'estime à plus de 10. Qui a raison ? Argumenter.
L'aire du domaine compris entre la courbe , la droite d'équation , l'axe des ordonnées et la droite d'équation est supérieure à l'aire du triangle rectangle ABC. Or l'aire du triangle rectangle ABC exprimée en unités d'aire est égale à
C'est Jeanne qui a raison.
Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.
Pour estimer plus précisément le surplus des consommateurs, Michel approche la courbe par une parabole P passant par les points de coordonnées et .
Il a fait trois essais avec un logiciel de calcul formel, dont les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous :
Équation de la parabole P | Estimation du surplus des consommateurs (en centaines de milliers d'euros) | |
Essai 1 | 54,7 | |
Essai 2 | 14,1 | |
Essai 3 | 8,0 |
Quel essai est le plus pertinent ? Expliquer la réponse.
Méthode 1 : Estimation du surplus des consommateurs
D'après la question précédente, le surplus des consommateurs est supérieur à 10 centaines de milliers d'euros. D'autre part, l'aire du domaine représentant le surplus des consommateurs est visiblement inférieure à l'aire d'un rectangle de côtés 5 et 7,5. Par conséquent, le surplus des consommateurs est inférieur à 37,5 centaines de milliers d'euros.
C'est l'essai 2 qui semble le plus pertinent.
Méthode 2 : Équation de la parabole
La fonction g est décroissante sur l'intervalle et . Parmi les trois courbes proposées, la parabole d'équation est la seule susceptible de convenir.
C'est l'essai 2 qui semble le plus pertinent.
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