sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. Le nombre réel ${\mathrm{e}}^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{e}}^{\frac{3x}{2}}& =& {\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^3& =& {\left(\sqrt{{\mathrm{e}}^x}\right)}^3\end{array}$$

   a : ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{3x}}{{\mathrm{e}}^2}}$

   b : ${\mathrm{e}}^{3x}-{\mathrm{e}}^2$

   c : ${\left(\sqrt{{\mathrm{e}}^x}\right)}^3$

2. L'équation $\ln \left(x^2+x+1\right)=0$ admet sur $ℝ$ :

   Pour tout réel x, $x^2+x+1>0$. Donc l'équation $\ln \left(x^2+x+1\right)=0$ est définie sur $ℝ$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(x^2+x+1\right)=0& \iff & \ln \left(x^2+x+1\right)=\ln \left(1\right)\hfill \\ & \iff & x^2+x+1=1\hfill \\ & \iff & x^2+x=0\hfill \\ & \iff & x\left(x+1\right)=0\hfill \\ & \text{Soit}& \begin{array}{ccc}x=0& \text{ou}& x=-1\end{array}\hfill \end{array}$$

   a :  Aucune solution

   b :  Une seule solution

   c :  Deux solutions

3. L'équation ${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{-x}$ admet sur $ℝ$ :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{-x}& \iff & x=-x\hfill \\ & \iff & 2x=0\hfill \\ & \text{Soit}& x=0\hfill \end{array}$$

   a :  Aucune solution

   b :  Une seule solution

   c :  Deux solutions

4. On considère une fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ vérifiant la propriété suivante : Pour tout $x\in \left[1;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽f\left(x\right)⩽1$. On peut alors affirmer que :

   Pour tout $x\in \left[1;+\infty \right[$, $\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽f\left(x\right)⩽1& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x^2}}⩽{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$.

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$. Donc par encadrement :(Voir le théorème des gendarmes α désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty$, $\ell$ désigne un nombre réel. f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle I.
   Si pour tout réel x de l'intervalle I, $h\left(x\right)⩽f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=\ell$ alors  $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=\ell$.)

   a :  $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}=0$

   b : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}=1$

   c : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}=+\infty$

5. On considère deux fonctions f et g définies sur un intervalle I, telles que g est une primitive de la fonction f sur I. On suppose que la fonction g est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :

   Dire que g est une primitive de la fonction f sur I signifie que pour tout réel x de l'intervalle I, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Les variations de g se déduisent du signe de f. Comme g est croissante sur I :

   a : La fonction g est positive sur I

   b : La fonction f est positive sur I

   c : La fonction f est croissante sur I

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