Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite où désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Montrer que la situation peut être modélisée par :
et pour tout entier naturel n par la relation :
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.
Calculer . Déterminer l'expression de en fonction de n.
Démontrer que pour tout entier naturel n, .
Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l'égalité .
En déduire la monotonie de la suite.
Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d'arbres de la forêt en 2010.
Déterminer la limite de la suite . Interpréter.
donc
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