Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite (un)un désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

  1. Montrer que la situation peut être modélisée par :
    u0=50 et pour tout entier naturel n par la relation : un+1=0,95un+3

  2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=60-un.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

    2. Calculer v0. Déterminer l'expression de vn en fonction de n.

    3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un=60-10×(0,95)n.

  3. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.

    1. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l'égalité un+1-un=0,5×(0,95)n.

    2. En déduire la monotonie de la suite.

  4. Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d'arbres de la forêt en 2010.

  5. Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter.

    0<0,95<1 donc limn+0,95n=0


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