sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1+\ln \left(x\right)$. On note $C_f$ la courbe représentative de f dans un repère du plan.
Le point $A\left(\mathrm{e};2\right)$ appartient à $C_f$ et on note $T_{\mathrm{e}}$ la tangente à $C_f$ au point A. Le point C est le point d'intersection de la tangente $T_{\mathrm{e}}$ et de l'axe des abscisses. Le point E a pour coordonnées $\left(\mathrm{e};0\right)$.
On admettra que sur $\left]0;+\infty \right[$, $C_f$ reste en dessous de $T_{\mathrm{e}}$.

1. 1. Le point B est le point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées du point B.

   2. Démontrer que, pour $x⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$, $f\left(x\right)⩾0$.

2. 1. Déterminer une équation de $T_{\mathrm{e}}$.

   2. En déduire les coordonnées du point C.

   3. Vérifier que les points E et C sont symétriques par rapport à O, origine du repère.

      Montrer que O est le milieu du segment $\left[EC\right]$

3. On considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x\ln x$.

   1. Démontrer que la fonction g est une primitive de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   2. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left(1+\ln x\right)\mathrm{d}x}$. Interpréter ce nombre.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en  compte.

   Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $C_f$ , $T_{\mathrm{e}}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par B et E. Ce domaine est grisé sur le graphique. Donner une valeur approchée arrondie au millième de cette aire.

   Sur $\left]0;+\infty \right[$, $C_f$ reste en dessous de $T_{\mathrm{e}}$ donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $C_f$ , $T_{\mathrm{e}}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par B et E est égale à $${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left({\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}+1\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

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