sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1+\ln \left(x\right)$. On note $C_f$ la courbe représentative de f dans un repère du plan.
Le point $A\left(\mathrm{e};2\right)$ appartient à $C_f$ et on note $T_{\mathrm{e}}$ la tangente à $C_f$ au point A. Le point C est le point d'intersection de la tangente $T_{\mathrm{e}}$ et de l'axe des abscisses. Le point E a pour coordonnées $\left(\mathrm{e};0\right)$.
On admettra que sur $\left]0;+\infty \right[$, $C_f$ reste en dessous de $T_{\mathrm{e}}$.

1. 1. Le point B est le point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées du point B.

      B est le point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses donc l'abscisse du point B est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \text{Soit}& 1+\ln \left(x\right)=0\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)=-1\hfill \\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-1}\hfill \end{array}$$

      Le point B a pour coordonnées $\left({\mathrm{e}}^{-1};0\right)$

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   2. Démontrer que, pour $x⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$, $f\left(x\right)⩾0$.

      La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$ donc $$\begin{array}{ccc}x⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}& \iff & \ln \left(x\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾-\ln \mathrm{e}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾-1\hfill \\ & \iff & 1+\ln \left(x\right)⩾0\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $x⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\iff f\left(x\right)⩾0$

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2. 1. Déterminer une équation de $T_{\mathrm{e}}$.

      La tangente $T_{\mathrm{e}}$ à la courbe $C_f$ au point $A\left(\mathrm{e};2\right)$ a pour équation $$y=f\prime \left(\mathrm{e}\right)\times \left(x-\mathrm{e}\right)+2$$

      Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ d'où $f\prime \left(\mathrm{e}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ donc la tangente $T_{\mathrm{e}}$ a pour équation $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\times \left(x-\mathrm{e}\right)+2& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}+1\end{array}$$

      La tangente $T_{\mathrm{e}}$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}+1$

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   2. En déduire les coordonnées du point C.

      C est le point d'intersection de la tangente $T_{\mathrm{e}}$ avec l'axe des abscisses. Donc l'abscisse du point C est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}+1=0& \iff & {\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}=-1\hfill \\ & \iff & x=-\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

      Le point C a pour coordonnées $\left(-\mathrm{e};0\right)$

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   3. Vérifier que les points E et C sont symétriques par rapport à O, origine du repère.

      Les coordonnées du milieu du segment $\left[EC\right]$ sont $$\begin{array}{ccc}\left(x_C-x_E;y_C-y_E\right)& \text{Soit}& \left(0;0\right)\end{array}$$

      O est le milieu du segment $\left[EC\right]$ donc les points E et C sont symétriques par rapport à O, origine du repère.

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3. On considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x\ln x$.

   1. Démontrer que la fonction g est une primitive de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{Soit}& g\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)+1\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Donc g est une primitive de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

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   2. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left(1+\ln x\right)\mathrm{d}x}$. Interpréter ce nombre.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left(1+\ln x\right)\mathrm{d}x}& =& {[x\ln x]}_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\hfill \\ & =& \left(\mathrm{e}\times \ln \mathrm{e}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\times \ln {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

      Nous avons montré dans la question 1b. que $x⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\iff f\left(x\right)⩾0$. Donc sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};\mathrm{e}\right]$ la courbe $C_f$ est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent :

      ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left(1+\ln x\right)\mathrm{d}x}$ est la mesure en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ et $x=\mathrm{e}$. Cette aire est égale à $\left(\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ unités d'aire.

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4. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en  compte.
   Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $C_f$ , $T_{\mathrm{e}}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par B et E. Ce domaine est grisé sur le graphique. Donner une valeur approchée arrondie au millième de cette aire.

   D'après l'énoncé, sur $\left]0;+\infty \right[$, $C_f$ reste en dessous de $T_{\mathrm{e}}$ donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $C_f$ , $T_{\mathrm{e}}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par B et E est égale à $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left({\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}+1\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left(1+\ln x\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2\mathrm{e}}}+x\right]}_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}-\left(\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)\hfill \\ & =& \left[\left({\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}}+\mathrm{e}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{2{\mathrm{e}}^3}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)\right]-\left(\mathrm{e}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}-{\displaystyle \frac{1}{2{\mathrm{e}}^3}}\hfill \end{array}$$

   L'aire de la partie grisée est égale à $\left({\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}-{\displaystyle \frac{1}{2{\mathrm{e}}^3}}\right)$ unités d'aire. Soit arrondie au millième près, 0,598 unités d'aire.

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