sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour une marque de téléphone portable donnée, on s'intéresse à deux options de dernière technologie proposées, le GPS et le Wifi. Sur l'ensemble des téléphones portables, 40 % possèdent l'option GPS. Parmi les téléphones avec l'option GPS, 60 % ont l'option Wifi.
On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même probabilité d'être choisis.
On considère les évènements suivants :
G : « le téléphone possède l'option GPS ».
W : « le téléphone possède l'option Wifi ».
Dans tout l'exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.

1. Traduire les données chiffrées de l'énoncé en termes de probabilité.

   Sur l'ensemble des téléphones portables, 40 % possèdent l'option GPS d'où $p\left(G\right)=\mathrm{0,4}$ et $p\left(\overline{G}\right)=1-p\left(G\right)=\mathrm{0,6}$.

   Parmi les téléphones avec l'option GPS, 60 % ont l'option Wifi d'où $p_G\left(W\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_G\left(\overline{W}\right)=1-p_G\left(W\right)=\mathrm{0,4}$

   Nous avons donc $p\left(G\right)=\mathrm{0,4}$, $p\left(\overline{G}\right)=\mathrm{0,6}$, $p_G\left(W\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_G\left(\overline{W}\right)=\mathrm{0,4}$

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2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.

   On suppose que la probabilité de W est : $p\left(W\right)={\displaystyle \frac{7}{10}}$

3. Déterminer la probabilité de l'évènement « le téléphone possède les deux options ».

   $$\begin{array}{ccc}p\left(G\cap W\right)=p_G\left(W\right)\times p\left(G\right)& \text{Soit}& p\left(G\cap W\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,24}\end{array}$$

   La probabilité de l'évènement « le téléphone possède les deux options » est égale à 0,24.

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4. Démontrer que $p_{\overline{G}}\left(W\right)={\displaystyle \frac{23}{30}}$. Compléter l'arbre du 2.

   Les évènements G et W déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(W\right)=p\left(G\cap W\right)+p\left(\overline{G}\cap W\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{G}\cap W\right)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,46}\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{G}}\left(W\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{G}\cap W\right)}{p\left(\overline{G}\right)}}& \text{D'où}& p_{\overline{G}}\left(W\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,46}}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{23}{30}}\end{array}$$

   Ainsi, $p_{\overline{G}}\left(W\right)={\displaystyle \frac{23}{30}}$ et $p_{\overline{G}}\left(\overline{W}\right)={\displaystyle \frac{7}{30}}$

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5. On choisit un téléphone avec l'option Wifi. Quelle est la probabilité qu'il ne possède pas l'option GPS ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_W\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{G}\cap W\right)}{p\left(W\right)}}& \text{Soit}& p_W\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,46}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{23}{35}}\end{array}$$

   Parmi les téléphones avec l'option Wifi, la probabilité de prendre un téléphone qui ne possède pas l'option GPS est égale à ${\displaystyle \frac{23}{35}}$

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   Le coût de revient par téléphone d'une option, pour le fabricant de téléphones, est de 12 euros pour l'option GPS et de 6 euros pour l'option Wifi.

6. Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options.

   • Le téléphone possède les deux options , le coût de revient de l'option est de 18 € et $p\left(G\cap W\right)=\mathrm{0,24}$

   • Le téléphone possède l'option GPS, le coût de revient de l'option est de 12 € et $$\begin{array}{ccc}p\left(G\cap \overline{W}\right)=p_G\left(\overline{W}\right)\times p\left(G\right)& \text{Soit}& p\left(G\cap \overline{W}\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,16}\end{array}$$

   • Le téléphone possède l'option Wifi, le coût de revient de l'option est de 6  € et $p\left(\overline{G}\cap W\right)=\mathrm{0,46}$

   • Le téléphone ne possède aucune des deux options, le coût de revient de l'option est nul et $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{G}\cap \overline{W}\right)=p_{\overline{G}}\left(\overline{W}\right)\times p\left(\overline{G}\right)& \text{Soit}& \left(\overline{G}\cap \overline{W}\right)=\mathrm{0,6}\times {\displaystyle \frac{7}{30}}=\mathrm{0,14}\end{array}$$

   D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité du coût de revient de l'option :

   Coût en euros	0	6	12	18
   Probabilité	0,14	0,46	0,16	0,24

7. Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat.

   L'espérance mathématique du coût de revient de l'option est :$$0\times \mathrm{0,14}+6\times \mathrm{0,46}+12\times \mathrm{0,16}+18\times \mathrm{0,24}=9$$

   Le coût de revient moyen par téléphone d'une option est de 9 euros.

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