sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au dixième.

partie a : Étude statistique

1. Calculer la dette moyenne de l'État entre 1990 et 2004.

   Dans ce cas, la moyenne n'a aucune signification.

   On peut éventuellement calculer l'augmentation du montant de la dette entre 1990 et 2004 $$\mathrm{872,6}-\mathrm{271,7}=\mathrm{600,9}$$ou l'augmentation annuelle moyenne de la dette entre 1990 et 2004 : $${\displaystyle \frac{\mathrm{872,6}-\mathrm{271,7}}{14}}\approx \mathrm{42,9}$$

2. En prenant l'année 1990 comme référence (indice 100), calculer les indices correspondant à la dette de l'État de 1992 à 2004. Donner la réponse sous forme d'un tableau.

   $\begin{array}{ccccccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{321,4}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{118,3}& {\displaystyle \frac{443}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx 163& {\displaystyle \frac{\mathrm{540,1}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{198,8}& {\displaystyle \frac{\mathrm{613,1}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{225,7}& {\displaystyle \frac{\mathrm{683,5}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{251,6}& {\displaystyle \frac{\mathrm{773,4}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{284,7}& {\displaystyle \frac{\mathrm{872,6}}{\mathrm{271,7}}}\times 100\approx \mathrm{321,2}\end{array}$

   D'où le tableau donnant les indices correspondants à la dette

   Source : INSEE

   Année	1990	1992	1994	1996	1998	2000	2002	2004
   Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7
   Indices	100	118,3	163	198,8	225,7	251,6	284,7	321,2

3. Déterminer le taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004.

   Par lecture directe de l'indice on a $$\mathrm{321,2}-100=\mathrm{221,2}$$

   Le taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004 est de 221,2 %.

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4. Déterminer le taux moyen d'évolution de la dette de l'État sur une période de deux ans.

   Le coefficient multiplicateur associé au taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004 est 3,212.

   Soit t % le taux moyen d'évolution de la dette de l'État sur une période de deux ans. t est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^7=\mathrm{3,212}& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left(\mathrm{3,212}\right)}^{\frac{1}{7}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left(\mathrm{3,212}\right)}^{\frac{1}{7}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{18,1}\hfill \end{array}$$

   Entre 1990 et 2004 le montant de la dette de l'État français a augmenté d'environ 18,1 % tous les deux ans.

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partie b : Interpolation et extrapolation de données.

1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{86,4}x+\mathrm{262,3}$ (coefficients arrondis au dixième )

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2. Selon cet ajustement, à partir de quelle année peut-on estimer que l'État aurait dépassé les 1000 milliards de dette ?

   Le rang x correspondant à deux années, $2x$ est le plus petit entier tel que x soit solution de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{86,4}x+\mathrm{262,3}>1000& \iff & x>{\displaystyle \frac{1000-\mathrm{262,3}}{\mathrm{86,4}}}\hfill \\ & \text{Soit}& x=9\hfill \end{array}$$

   Selon cet ajustement, la dette de l'État français aura dépassé les 1000 milliards d'euros à partir de 2008.

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3. Selon cet ajustement, déterminer l'année à partir de laquelle la dette de l'État sera le double de la dette de l'an 2000.

   On cherche à déterminer le plus petit entier $2x$ tel que x soit solution de l'inéquation :$$\begin{array}{ccc}\mathrm{86,4}x+\mathrm{262,3}>2\times \mathrm{683,5}& \iff & x>{\displaystyle \frac{1367-\mathrm{262,3}}{\mathrm{86,4}}}\hfill \\ & \text{Soit}& x=13\hfill \end{array}$$

   Selon cet ajustement, la dette de l'État français sera le double de la dette de l'an 2000 à partir de 2016.

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