sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

1. Montrer que la situation peut être modélisée par :
   $u_0=50$ et pour tout entier naturel n par la relation : $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+3$

   $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres d'où $u_0=50$.
   Chaque année, 5 % des arbres existants sont abattus et 3 000 arbres sont replantés d'où $u_{n+1}=\left(1-\mathrm{0,05}\right)\times u_n+3$.Soit $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+3$.

   Ainsi, la situation peut être modélisée par $u_0=50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+3$

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2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=60-u_n$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{v}_{n+1}=60-u_{n+1}& \iff & v_{n+1}=60-\left(\mathrm{0,95}{u}_n+3\right)\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=57-\mathrm{0,95}{u}_n\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{0,95}\times \left(60-u_n\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,95}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95.

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   2. Calculer $v_0$. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de n.

      $v_0=60-v_0$. Soit $v_0=60-50=10$

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=10$ alors, pour tout entier naturel n, $v_n=10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$

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   3. Démontrer que pour tout entier naturel n, $u_n=60-10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$.

      Pour tout entier naturel n, $v_n=60-u_n$ et $v_n=10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$. D'où pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}60-u_n=10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n& \iff & u_n=60-10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_n=60-10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$.

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3. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.

   $$u_5=60-10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^5\approx \mathrm{52,262}$$

   En 2015, la forêt devrait avoir 52 262 arbres.

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4. 1. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l'égalité $u_{n+1}-u_n=\mathrm{0,5}\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}-u_n& =& \mathrm{0,95}{u}_n+3-u_n\hfill \\ & =& 3-\mathrm{0,05}{u}_n\hfill \\ & =& 3-\mathrm{0,05}\times \left(60-10\times {\mathrm{0,95}}^n\right)\hfill \\ & =& 3-3+\mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,95}}^n\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,95}}^n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n=\mathrm{0,5}\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n$.

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   2. En déduire la monotonie de la suite.

      Pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,95}}^n>0$. D'où $\mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,95}}^n>0$.

      Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n>0$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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5. Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d'arbres de la forêt en 2010.

   On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : $$\begin{array}{cccc}60-10\times {\mathrm{0,95}}^n>\mathrm{1,1}\times 50& \iff & -10\times {\mathrm{0,95}}^n>-5\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,5}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,95}}^n\right)<\ln \mathrm{0,5}\hfill & \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,95}<\ln \mathrm{0,5}\hfill & \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,95}}}\hfill & \ln \mathrm{0,95}<0\\ & \text{Soit}& n=14\hfill \end{array}$$

   Le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d'arbres de la forêt en 2010 à partir de 2024.

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6. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter.

   $0<\mathrm{0,95}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,95}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }60-10\times {\left(\mathrm{0,95}\right)}^n=60$

   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et converge vers 60. Donc le nombre d'arbres de la forêt ne dépassera pas 60 000.

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