sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. Le candidat notera à chaque fois sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.
Le barème sera établi comme suit :
pour une réponse exacte aux questions 1, 2, 3 et 4 : 0,5 point,
pour une réponse exacte aux questions 5 et 6 : 1 point,
pour une réponse fausse ou l'absence de réponse : 0 point.

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Pour toutes les questions, on considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$. On appelle C sa courbe représentative dans un repère donné du plan.

1. On a :

   Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $x+1>0$. Donc $\underset{x\to -1}{\lim }x+1=0^{+}$ et $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=+\infty$. Par conséquent, $\underset{x\to -1}{\lim }2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=-\infty$

   $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-1$

   $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=2$

   $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

2. La courbe C admet une asymptote d'équation :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=2$. Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ alors la courbe C admet une asymptote d'équation $y=2$ en $+\infty$

   $y=2$

   $y=-1$

   $x=2$

3. Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)$ peut s'écrire :

   Pour tout réel $x\ne -1$, $$\begin{array}{ccccc}2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}& =& {\displaystyle \frac{2\times \left(x+1\right)-1}{x+1}}& =& {\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}\end{array}$$

   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$

   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}$

   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

4. Le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ est donné par le tableau :

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}$ sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	−1				$-\frac{1}{2}$		$+\infty$
   $2x+1$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+1$				+	$|$	+
   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

   x −1   0   $+\infty$ $f\left(x\right)$ || − 0 +

   x −1   $+\infty$ $f\left(x\right)$ || +

   x −1   $-\frac{1}{2}$   $+\infty$ $f\left(x\right)$ || − 0 +

5. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 est :

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 est égal à $f\prime \left(1\right)$. Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}}$ d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{{\left(1+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

   $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

6. L'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$, est égale à :

   D'après la question 4, sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)>0$. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$, est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ est la fonction la F définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=2x-\ln \left(x+1\right)$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}2-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[2x-\ln \left(x+1\right)]}_0^1}\hfill \\ & =& \left(2-\ln 2\right)-\ln 1\hfill \\ & =& 2-\ln 2\hfill \end{array}$$

   $-2+\ln 2$

   $2-\ln 2$

   ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

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