sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant.Le détail des calculs n'est pas demandé

   La probabilité qu'un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7 d'où $p\left(B\right)=\mathrm{0,7}$ et $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\right)=1-p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

   Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas d'où $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,8}$ et $$\begin{array}{ccc}{p}_B\left(\overline{S}\right)=1-p_B\left(S\right)& \text{soit}& p_B\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

   S'il n'y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d'un banc dans 5 % des cas d'où $p_{\overline{B}}\left(S\right)=\mathrm{0,05}$ et $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{B}}\left(\overline{S}\right)=1-p_{\overline{B}}\left(S\right)& \text{soit}& p_{\overline{B}}\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\end{array}$$

   L'arbre pondéré traduisant la situation est :

2. Déterminer la probabilité $p\left(B\cap S\right)$ qu'il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap S\right)=p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,56}\end{array}$$

   La probabilité qu'il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte est égale à 0,56.

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3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d'un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.

   Les évènements B et S déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(B\cap S\right)+p\left(\overline{B}\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\cap S\right)=p_{\overline{B}}\left(S\right)\times p\left(\overline{B}\right)& \text{soit}& p\left(\overline{B}\cap S\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,015}\end{array}$$ Donc $$p\left(S\right)=\mathrm{0,56}+\mathrm{0,015}=\mathrm{0,575}$$

   La probabilité que le sonar indique la présence d'un banc de poissons est égale à 0,575.

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4. Lors d'une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l'une des trois situations suivantes :

   Situation 1 : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2 000 euros.
   Situation 2 : il n'y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros.
   Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu'il y en ait ou pas). Le filet n'est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros.

   1. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé.

      $p\left(S\right)=\mathrm{0,575}$ d'où $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{S}\right)=1-p\left(S\right)& \text{soit}& p\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,575}=\mathrm{0,425}\end{array}$$

      Nous pouvons compléter le tableau donnant la loi de probabilité du gain réalisé

      Gain : $x_i$	2 000	− 500	− 300
      Probabilité : $p_i$	0,56	0,015	0,425

   2. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?

      L'espérance mathématique du gain réalisé est :$$2000\times \mathrm{0,56}-500\times \mathrm{0,015}-300\times \mathrm{0,425}=985$$

      Le gain moyen par sortie que peut espérer réaliser le pêcheur est de 985 €.

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5. Le pêcheur prévoit d'effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet, c'est-à-dire n'indique pas la présence d'un banc de poissons. On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat.

   Les trois sorties successives sont indépendants. Par conséquent, la loi de probabilité associée au nombre de fois où le sonar indique la présence d'un banc de poissons est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,575.

   La probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet est : $$p\left(\overline{S}\right)\times p\left(\overline{S}\right)\times p\left(\overline{S}\right)={\mathrm{0,425}}^3\approx \mathrm{0,077}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet est 0,077.

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