Les parties A et B sont indépendantes
Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d'entre eux s'arrêtent de fumer, d'autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur.
On estime que :
si un individu est fumeur, la probabilité qu'il arrête de fumer (qu'il devienne non fumeur) le trimestre suivant est 0,2 ;
si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu'il redevienne fumeur le trimestre suivant est 0,3.
On notera X l'évènement « l'individu est fumeur » et Y l'évènement « l'individu est non fumeur ».
Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l'on notera M (aucune justification n'est demandée, on respectera l'ordre alphabétique des sommets).
Pour un entier naturel n donné, on note la proportion de fumeurs dans la population et la proportion de non fumeurs au trimestre de rang n. On note la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système au trimestre de rang n.
On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc :
Vérifier que la proportion de fumeurs à l'issue de deux trimestres est 0,7.
Déterminer l'état de la population à l'issue d'une année.
La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : . Déterminer cet état.
Le chiffre d'affaires d'un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, c'est-à-dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac.
On appelle z le chiffre d'affaire en milliers d'euros, x le nombre de consommateurs en milliers et y le prix du paquet de tabac en euros. On admettra que .
Dans l'espace, muni d'un repère orthonormal , on désigne par S la surface d'équation .
Le débitant a pour clients 1000 consommateurs réguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de 5 euros.
Quel est le chiffre d'affaires réalisé par le débitant ?
Soit, dans un plan P parallèle au plan de base xOy, la ligne de niveau de la surface S.
On a tracé cette ligne de niveau sur la figure donnée en annexe.
Donner son équation de la forme .
Le nombre de consommateurs passe de 1000 à 600. Quel devrait être, au centime d'euros près, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre d'affaires du débitant reste égal à 5 000 € ?
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