Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

énoncé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d'entre eux s'arrêtent de fumer, d'autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur.

On estime que :
si un individu est fumeur, la probabilité qu'il arrête de fumer (qu'il devienne non fumeur) le trimestre suivant est 0,2 ;
si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu'il redevienne fumeur le trimestre suivant est 0,3.

On notera X l'évènement « l'individu est fumeur » et Y l'évènement « l'individu est non fumeur ».

  1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l'on notera M (aucune justification n'est demandée, on respectera l'ordre alphabétique des sommets).

  2. Pour un entier naturel n donné, on note xn la proportion de fumeurs dans la population et yn la proportion de non fumeurs au trimestre de rang n. On note En=(xnyn) la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système au trimestre de rang n.

    On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : E0=(10)

    1. Vérifier que la proportion de fumeurs à l'issue de deux trimestres est 0,7.

    2. Déterminer l'état E4 de la population à l'issue d'une année.

  3. La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : E=(xy). Déterminer cet état.

partie b

Le chiffre d'affaires d'un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, c'est-à-dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac.
On appelle z le chiffre d'affaire en milliers d'euros, x le nombre de consommateurs en milliers et y le prix du paquet de tabac en euros. On admettra que z=xy.
Dans l'espace, muni d'un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥,k), on désigne par S la surface d'équation z=xy.

  1. Le débitant a pour clients 1000 consommateurs réguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de 5 euros.

    1. Quel est le chiffre d'affaires réalisé par le débitant ?

    2. Soit, dans un plan P parallèle au plan de base xOy, la ligne de niveau z=5 de la surface S.
      On a tracé cette ligne de niveau sur la figure donnée en annexe.
      Donner son équation de la forme y=f(x).

  2. Le nombre de consommateurs passe de 1000 à 600. Quel devrait être, au centime d'euros près, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre d'affaires du débitant reste égal à 5 000 € ?

annexe

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