Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

L'Organisation des Nations Unies (ONU) a établi en 2008 des statistiques et des prévisions sur la population mondiale.
Le tableau suivant donne la population recensée par l'ONU. (La population en 2010 est considérée par l'ONU comme très proche de la réalité compte tenu de la date à laquelle l'étude a été effectuée.)

Année	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Rang de l'année $x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7
Population (en millions de personnes) $y_{i}$	2529	3023	3686	4438	5290	6115	6908

1. Calculer l'augmentation de population entre les années 1950 et 1960, puis entre les années 1970 et 1980, puis entre les années 1990 et 2000. Un ajustement affine est-il pertinent ?
  Augmentation de population :
  - entre les années 1950 et 1960 $3023 - 2529 = 494$
  - entre les années 1970 et 1980 $4438 - 3686 = 752$
  - entre les années 1990 et 2000 $6115 - 5290 = 825$
  L'accroissement de la population n'est pas proportionnel à l'accroissement du rang. Un ajustement affine ne semble pas adapté.
2. Calculer le pourcentage d'augmentation de la population mondiale entre les années 1990 et 2000. On donnera la valeur arrondie à 0,1 % près.
  $\frac{6115 - 5290}{5290} \times 100 \approx 15,6$
  Entre les années 1990 et 2000, la population mondiale a augmenté d'environ 15,6%.
On envisage un ajustement exponentiel.
1. Pour chaque année $x_{i}$ , calculer $\ln y_{i}$ et compléter le tableau suivant avec les valeurs approchées arrondies à 0,01 près.
  Année 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
  $x_{i}$ 1 2 3 4 5 6 7
  $z_{i} = \ln y_{i}$ 7,84 8,01 8,21 8,4 8,57 8,72 8,84
2. Représenter le nuage de points $M_{i} (x_{i}; z_{i})$ sur la feuille donnée en annexe.
1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Aucune justification n'est demandée, les calculs seront effectués avec la calculatrice et les coefficients arrondis au millième.
  Une équation de la droite d d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z = 0,171 x + 7,687$ (coefficients arrondis au millième)
2. Tracer cette droite d'ajustement sur le graphique de la question 2.
  La droite (d) passe par les points de coordonnées $(0; 7,687)$ et $(7; 8,884)$
Déduire de l'ajustement précédent l'expression de la population y donnée en fonction du rang x de l'année, sous la forme : $y = A e^{B x}$ où A et B sont des nombres réels à déterminer. On arrondira A à l'unité et B au millième.
Pour tout réel $y > 0$ , $z = \ln y \Leftrightarrow y = \exp z$ d'où $\begin{array}{l} y = e^{0,171 x + 7,687} & \Leftrightarrow & y = e^{7,687} \times e^{0,171 x} \end{array}$ Or $e^{7,687} \approx 2180$
Une estimation de la population en fonction du rang de l'année est $y = 2180 e^{0,171 x}$ .
On suppose que $y = 2180 e^{0,171 x}$ . Quelle estimation peut-on alors donner pour la population mondiale en 2030 ? On donnera les valeurs approchées arrondies au million près.
Le rang de l'année 2030 est 9 et $y = 2180 e^{0,171 \times 9} \approx 10159$
Selon cette estimation, en 2030, la population mondiale sera de 10 159 millions d'habitants.

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Année	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
$x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7
$z_{i} = \ln y_{i}$	7,84	8,01	8,21	8,4	8,57	8,72	8,84