sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d'usine.
L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x{\mathrm{e}}^{-x}$ où x est le nombre de minutes écoulées depuis l'accident et $f\left(x\right)$ le taux de gaz dans l'air exprimé en parties pour million (ppm).

1. 1. On rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=0$. Déterminer la limite de f en $+\infty$ .

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2\times \left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=0$. Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x{\mathrm{e}}^{-x}=0$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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   2. On admet que la fonction f  est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et étudier son signe pour x élément de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
      Donner le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f=uv& \text{d'où}& f\prime =u\prime v+uv\prime \end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& 2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\left(2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$. Donc sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $2-2x$

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :

      x	0		1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	0		$\frac{2}{\mathrm{e}}$		0

2. On admet que le taux de gaz dans l'air est négligeable après 5 minutes. C'est pourquoi, dans la suite de l'exercice, on restreindra l'étude de la fonction f  à l'intervalle $\left[0;5\right]$.
   Le plan est muni d'un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est donnée en annexe 2.

   1. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur cet intervalle.

      Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}F=uv& \text{d'où}& F\prime =u\prime v+uv\prime \end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=-2-2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ : $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{-x}-\left(-2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& 2x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Donc la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur cet intervalle.

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   2. Calculer la valeur moyenne m (exprimée en ppm) du taux de gaz pendant les 5 minutes.
      On déterminera la valeur exacte de m puis on donnera sa valeur approchée arrondie à 0,01 ppm près.

      Par définition, $$\begin{array}{ccc}m={\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& m={\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle {\left[\left(-2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\right]}_0^5}\hfill \\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left[(-2-2\times 5]{\mathrm{e}}^{-5}-\left(-2\right){\mathrm{e}}^0\right)\hfill \\ & \iff & m={\displaystyle \frac{2-12{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}\hfill \end{array}$$

      La valeur moyenne m (exprimée en ppm) du taux de gaz pendant les 5 minutes est $m={\displaystyle \frac{2-12{\mathrm{e}}^{-5}}{5}}$. Soit arrondie au centième près 0,38 ppm.

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3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   On considère que le gaz a un effet irritant pour l'organisme si le taux dépasse 0,65 ppm pendant plus d'une minute.
   Déterminer si le personnel de l'usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche.

   La courbe représentative de la fonction f est au dessus de la droite d'équation $y=\mathrm{0,65}$ sur l'intervalle $\left[a;b\right]$. Or avec la précision permise par le graphique, nous ne pouvons pas déterminer si l'amplitude de l'intervalle $\left[a;b\right]$ est supérieure à une minute.

   • Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est continue strictement croissante et $0⩽\mathrm{0,65}⩽{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,65}$ admet une solution unique $a\in \left[0;1\right]$.

     Or f est strictement croissante sur $\left[0;1\right]$, donc si $x\in \left]a;1\right]$ alors $f\left(x\right)>\mathrm{0,65}$

   • Sur l'intervalle $\left[1;5\right]$, la fonction f est continue strictement décroissante et ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}⩽\mathrm{0,65}⩽f\left(5\right)$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,65}$ admet une solution unique $b\in \left[1;5\right]$.

     Or f est strictement décroissante sur $\left[1;5\right]$, donc si $x\in \left[1;b\right[$ alors $f\left(x\right)>\mathrm{0,65}$

   Ainsi, $f\left(x\right)>\mathrm{0,65}\iff x\in \left]a;b\right[$. Avec la calculatrice, on trouve $a\approx \mathrm{0,5811}$ et $b\approx \mathrm{1,5837}$. Par conséquent, l'amplitude de l'intervalle $\left]a;b\right[$ est supérieure à $$\mathrm{1,583}-\mathrm{0,582}=\mathrm{1,001}$$

   S'agissant d'un problème de santé, on peut considérer que le personnel a été affecté par la fuite de gaz.

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